ポアソン分布の定義と概要（確率関数の導出付き）

（i）すべての $x$ に関して、$P \left(x\right) \geq 0$
パラメータの定義 $0 \lt \lambda$ より \begin{align} 0 \lt \lambda^x \quad 0 \lt e^{-\lambda} \quad 1 \le x! \end{align} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} \geq 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}f \left(x\right)=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!} \end{align} 指数関数のマクローリン展開 $\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!}=e^\lambda$ より、 \begin{align} \sum_{x=0}^{\infty}f \left(x\right)=e^{-\lambda} \cdot e^\lambda=1 \end{align} よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。 $\blacksquare$

$n\rightarrow\infty,p\rightarrow0$ とき、$X$ の期待値 \begin{align} E \left(X\right)=np \end{align} は、ほぼ同じ値（一定値）を取ると考えられる。 これを \begin{align} np=\lambda \end{align} とする。 これを用いて、二項分布の確率関数を変形すると、 \begin{align} f \left(x\right)&={}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ &=\frac{n!}{x! \left(n-x\right)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\ &=\frac{1}{x!} \cdot \frac{n!}{ \left(n-x\right)!} \cdot \frac{\lambda^x}{n^x} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\\ &=\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \frac{n \left(n-1\right) \cdots \left(n-x+1\right)}{n^x} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\ &=\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \end{align} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}&=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\right\}}\\ &=\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right)} \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}} \end{align} ここで、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right)}=1 \cdot 1 \cdot \cdots \cdot 1=1\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}}= \left(1-0\right)^{-x}=1 \end{gather} したがって、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}=\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} \end{align} また、ネイピアの数の定義式より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}=e^{-\lambda} \end{align} したがって、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} \end{align} これは、ポアソン分布の確率関数の定義式である。 $\blacksquare$