ポアソン分布の定義と概要（確率関数の導出付き）-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ポアソン分布の定義と概要（確率関数の導出付き）

公開日： 2023/03/20

本稿では、ポアソン分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、確率関数の導出、累積分布関数、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数、最頻値、再生性の紹介が含まれます。

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ポアソン分布

定義・意味

単位時間あたり平均 $λ$ 回発生する極めて稀な事象があるとき、単位時間内にその事象が発生する回数 $X$ が従う離散型確率分布をポアソン分布 Poisson distribution と呼ぶ。

確率関数

確率関数 $f (x)$ は、 $\begin{array}{r} f (x) = {\begin{array}{c} \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{array} \end{array}$ で与えられる。

略記法

また、ポアソン分布は、 $\begin{array}{r} Po (λ) \end{array}$ と略記されることがある。

確率関数であることの証明

証明

（i）すべての $x$ に関して、 $P (x) \geq 0$
パラメータの定義 $0 < λ$ より $\begin{array}{r} 0 < λ^{x} 0 < e^{- λ} 1 \leq x! \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} f (x) = \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} \geq 0 \end{array}$ （ii）すべての確率の和が1 $\begin{array}{r} \sum_{x = 0}^{\infty} f (x) = e^{- λ} \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{λ^{x}}{x!} \end{array}$ 指数関数のマクローリン展開 $\sum_{x = 0}^{\infty} \frac{λ^{x}}{x!} = e^{λ}$ より、 $\begin{array}{r} \sum_{x = 0}^{\infty} f (x) = e^{- λ} \cdot e^{λ} = 1 \end{array}$ よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。 $◼$

【定理】確率関数の導出（二項分布のポアソン近似）

【定理】
二項分布のポアソン近似
Derivation of Probability Function of Poisson Distribution: Poisson Approximation to the Binomial Distribution

確率変数 $X$ が二項分布 $\begin{array}{r} X \sim B (n, p) \end{array}$ に従い、試行回数 $n$ が十分に大きく、かつ1回の試行における成功確率 $p$ が非常に小さい、すなわち、 $\begin{array}{r} n \to \infty p \to 0 \end{array}$ のとき、 $\begin{array}{r} λ = n p \end{array}$ が一定値を取るとの仮定の下で、確率変数 $X$ は近似的にポアソン分布 $\begin{array}{r} Po (λ) \end{array}$ に従う。

導出

$n \to \infty, p \to 0$ とき、 $X$ の期待値 $\begin{array}{r} E (X) = n p \end{array}$ は、ほぼ同じ値（一定値）を取ると考えられる。これを $\begin{array}{r} n p = λ \end{array}$ とする。これを用いて、二項分布の確率関数を変形すると、 $\begin{aligned} f (x) & =_{n} C_{x} p^{x} {(1 - p)}^{n - x} \\ = \frac{n!}{x! (n - x)!} {(\frac{λ}{n})}^{x} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - x} \\ = \frac{1}{x!} \cdot \frac{n!}{(n - x)!} \cdot \frac{λ^{x}}{n^{x}} \cdot {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} \cdot \frac{n (n - 1) \dots (n - x + 1)}{n^{x}} \cdot {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} (\frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \dots \cdot \frac{n - x + 1}{n}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \end{aligned}$ 両辺の $n \to \infty$ のときの極限を取ると、 $\begin{aligned} lim_{n \to \infty} f (x) & = lim_{n \to \infty} {\frac{λ^{x}}{x!} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} (\frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \dots \cdot \frac{n - x + 1}{n}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x}} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} \cdot lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \dots \cdot \frac{n - x + 1}{n}) \cdot lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \end{aligned}$ ここで、 $\begin{matrix} lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \dots \cdot \frac{n - x + 1}{n}) = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1 \\ lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} = {(1 - 0)}^{- x} = 1 \end{matrix}$ したがって、 $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} f (x) = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} \end{array}$ また、ネイピアの数の定義式より、 $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} = e^{- λ} \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} f (x) = \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} \end{array}$ これは、ポアソン分布の確率関数の定義式である。 $◼$

重要事項のまとめ

略記法

$\begin{array}{r} Po (λ) \end{array}$

パラメータ

$\begin{matrix} 0 < λ \end{matrix}$

確率関数

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{array}{c} \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{array} \end{array}$

累積分布関数

$\begin{matrix} F (x) = \int_{2 λ}^{\infty} f_{n} (t) d t \\ 0 < λ n = 2 (x + 1) \end{matrix}$ ただし、 $f_{n} (t)$ は、自由度 $n$ の $χ^{2}$ 分布 $χ^{2} (n)$ の確率密度関数とする。

期待値

$\begin{array}{r} E (X) = λ \end{array}$

分散

$\begin{array}{r} V (X) = λ \end{array}$

最頻値

$\begin{array}{r} M o (X) = {\begin{array}{c} λ - 1, λ & λ \in N \\ ⌈ λ ⌉ & λ \notin N \end{array} \end{array}$ $x \in N$ は整数であることを表す。 $⌈ x ⌉$ は、「 $x$ を超えない最大の整数」を表す。

確率母関数

$\begin{array}{r} G_{X} (θ) = e^{λ (θ - 1)} \end{array}$

モーメント母関数

$\begin{array}{r} M_{X} (θ) = e^{λ (e^{θ} - 1)} \end{array}$

再生性

ポアソン分布には、再生性がある。

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.54
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.112-115
竹村彰通著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.26-27
稲垣宣生著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.31-32
久保川達也著, 新井仁之, 小林俊行, 斎藤毅, 吉田朋広編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.33-35
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.85-88

ポアソン分布の定義と概要（確率関数の導出付き）