中心極限定理の証明

$Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}$ と線形変換すると、標準化の性質より、 \begin{align} E \left(Z_i\right)=0 \quad V \left(Z_i\right)=1 \end{align} また、分散の公式の変形 $E \left(X^2\right)=V \left(X\right)+ \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} E \left(Z_i^2\right)=1+0=1 \end{align} このとき、標本平均の定義式を変形すると、 \begin{gather} {\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ \frac{\sqrt n \left({\bar{X}}_n-\mu\right)}{\sigma}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{\sqrt n \left(X_i-\mu\right)}{\sigma}\\ Z=\sum_{i=1}^{n}\frac{Z_i}{\sqrt n} \end{gather} $Z$ と $Z_i$ のモーメント母関数をそれぞれ \begin{align} M_Z \left(\theta\right) \quad M_{Z_i} \left(\theta\right) \end{align} とすると、 モーメント母関数の定義式より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&=E \left[\mathrm{exp} \left(\theta Z\right)\right]\\ &=E \left[\mathrm{exp} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\sum_{i=1}^{n}Z_i\right)\right]\\ &=E \left[\prod_{i=1}^{n}{\mathrm{exp} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}Z_i\right)}\right]\\ &=\prod_{i=1}^{n}E \left[\mathrm{exp} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}Z_i\right)\right]\\ &=\prod_{i=1}^{n}{M_{Z_i} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)}\\ &= \left[M_{Z_i} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)\right]^n \end{align} ここで、モーメント母関数をマクローリン展開すると、 \begin{align} M_{Z_i} \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)&=1+\frac{M_{Z_i}^{ \left(1\right)} \left(0\right)}{1!} \cdot \frac{\theta}{\sqrt n}+\frac{M_{Z_i}^{ \left(2\right)} \left(0\right)}{2!} \cdot \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^2+\frac{M_{Z_i}^{ \left(3\right)} \left(0\right)}{3!} \cdot \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^3+ \cdots \\ &=1+\frac{\theta}{\sqrt n}E \left(Z_i\right)+ \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^2\frac{E \left(Z_i^2\right)}{2}+\frac{M_{Z_i}^{ \left(3\right)} \left(0\right)}{3!} \cdot \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^3+ \cdots \\ &=1+\frac{\theta^2}{2n}+\frac{M_{Z_i}^{ \left(3\right)} \left(0\right)}{3!} \cdot \left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^3+ \cdots \\ &=1+\frac{1}{n} \left\{\frac{\theta^2}{2}+\frac{M_{Z_i}^{ \left(3\right)} \left(0\right) \cdot \theta^3}{3!\sqrt n}+ \cdots \right\} \end{align} したがって、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)= \left[1+\frac{1}{n} \left\{\frac{\theta^2}{2}+\frac{M_{Z_i}^{ \left(3\right)} \left(0\right) \cdot \theta^3}{3!\sqrt n}+ \cdots \right\}\right]^n \end{align} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{M_Z \left(\theta\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}{M_Z \left(\theta\right)} \left[1+\frac{1}{n} \left(\frac{\theta^2}{2}\right)\right]^n \end{align} ネイピアの数の定義式 $e^a=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{a}{n}\right)^n}$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{M_Z \left(\theta\right)}=\mathrm{exp} \left(\frac{\theta^2}{2}\right) \end{align} これは、標準正規分布のモーメント母関数なので、連続性定理により、$Z$ は標準正規分布に分布収束する。 $\blacksquare$