中心極限定理の証明

$Z_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$ と線形変換すると、標準化の性質より、 $$\begin{array}{r}E\left(Z_i\right)=0V\left(Z_i\right)=1\end{array}$$ また、分散の公式の変形 $E\left(X^2\right)=V\left(X\right)+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Z_i^2\right)=1+0=1\end{array}$$ このとき、標本平均の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{c}{\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\\ \frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{n}(X_i-\mu )}{\sigma }\\ Z=\sum _{i=1}^n\frac{Z_i}{\sqrt{n}}\end{array}$$ $Z$ と $Z_i$ のモーメント母関数をそれぞれ $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)M_{Z_i}\left(\theta \right)\end{array}$$ とすると、 モーメント母関数の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& =E\left[\exp \left(\theta Z\right)\right]\\ & =E\left[\exp \left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n{Z}_i\right)\right]\\ & =E\left[\prod _{i=1}^n\exp \left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}{Z}_i\right)\right]\\ & =\prod _{i=1}^{n}E\left[\exp \left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}{Z}_i\right)\right]\\ & =\prod _{i=1}^n{M}_{Z_i}\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)\\ & ={\left[M_{Z_i}\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)\right]}^n\end{array}$$ ここで、モーメント母関数をマクローリン展開すると、 $$\begin{array}{rl}{M}_{Z_i}\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)& =1+\frac{M_{Z_i}^{\left(1\right)}\left(0\right)}{1!}\cdot \frac{\theta }{\sqrt{n}}+\frac{M_{Z_i}^{\left(2\right)}\left(0\right)}{2!}\cdot {\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)}^2+\frac{M_{Z_i}^{\left(3\right)}\left(0\right)}{3!}\cdot {\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)}^3+\cdots \\ & =1+\frac{\theta }{\sqrt{n}}E\left(Z_i\right)+{\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)}^2\frac{E\left(Z_i^2\right)}{2}+\frac{M_{Z_i}^{\left(3\right)}\left(0\right)}{3!}\cdot {\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)}^3+\cdots \\ & =1+\frac{{\theta }^2}{2n}+\frac{M_{Z_i}^{\left(3\right)}\left(0\right)}{3!}\cdot {\left(\frac{\theta }{\sqrt{n}}\right)}^3+\cdots \\ & =1+\frac{1}{n}\{\frac{{\theta }^2}{2}+\frac{M_{Z_i}^{\left(3\right)}\left(0\right)\cdot {\theta }^3}{3!\sqrt{n}}+\cdots \}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)={[1+\frac{1}{n}\{\frac{{\theta }^2}{2}+\frac{M_{Z_i}^{\left(3\right)}\left(0\right)\cdot {\theta }^3}{3!\sqrt{n}}+\cdots \}]}^n\end{array}$$ 両辺の $n\to \mathrm{\infty }$ のときの極限を取ると、 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_Z\left(\theta \right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_Z\left(\theta \right){[1+\frac{1}{n}\left(\frac{{\theta }^2}{2}\right)]}^n\end{array}$$ ネイピアの数の定義式 $e^a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{a}{n})}^n$ より、 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_Z\left(\theta \right)=\exp \left(\frac{{\theta }^2}{2}\right)\end{array}$$ これは、標準正規分布のモーメント母関数なので、連続性定理により、$Z$ は標準正規分布に分布収束する。 $◼$