ポアソン分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k\left(z\right)=\sum _{x=0}^{z}g\left(x\right)\cdot h(s-x)$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(z\right)& =\sum _{x=0}^z\frac{e^{-{\lambda }_1}{\lambda }_1^x}{x!}\cdot \frac{e^{-{\lambda }_2}{\lambda }_2^{z-x}}{(z-x)!}\\ & =e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\sum _{x=0}^z\frac{z!}{x!(z-x)!}\cdot \frac{{\lambda }_1^x{\lambda }_2^{z-x}}{z!}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{z!}\sum _{x=0}^z\frac{z!}{x!(z-x)!}\cdot {\lambda }_1^x{\lambda }_2^{z-x}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{z!}\sum _{x=0}^z{}_z{C}_x{\lambda }_1^x{\lambda }_2^{z-x}\end{array}$$ 二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}$ において、$a={\lambda }_1,b={\lambda }_2,n=z$ とすると、 $$\begin{array}{r}k\left(z\right)=\frac{{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}({\lambda }_1+{\lambda }_2)}^z}{z!}\end{array}$$ これは、ポアソン分布の確率関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}\lambda \to {\lambda }_1+{\lambda }_{2}x\to z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ポアソン分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{Po}({\lambda }_1+{\lambda }_2)\end{array}$$ に従う。 $◼$

ポアソン分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)=e^{{\lambda }_1(e^{\theta }-1)}\\ M_Y\left(\theta \right)=e^{{\lambda }_2(e^{\theta }-1)}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& =e^{{\lambda }_1(e^{\theta }-1)}\cdot e^{{\lambda }_2(e^{\theta }-1)}\\ & =e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)(e^{\theta }-1)}\end{array}$$ これは、ポアソン分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}\lambda \to {\lambda }_1+{\lambda }_{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ポアソン分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{Po}({\lambda }_1+{\lambda }_2)\end{array}$$ に従う。 $◼$