ポアソン分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k \left(z\right)=\sum_{x=0}^{z}{g \left(x\right) \cdot h \left(s-x\right)}$ より、 \begin{align} k \left(z\right)&=\sum_{x=0}^{z}{\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^x}{x!} \cdot \frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-x}}{ \left(z-x\right)!}}\\ &=e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}\sum_{x=0}^{z}{\frac{z!}{x! \left(z-x\right)!} \cdot \frac{\lambda_1^x\lambda_2^{z-x}}{z!}}\\ &=\frac{e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}}{z!}\sum_{x=0}^{z}{\frac{z!}{x! \left(z-x\right)!} \cdot \lambda_1^x\lambda_2^{z-x}}\\ &=\frac{e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}}{z!}\sum_{x=0}^{z}{{}_{z}C_x\lambda_1^x\lambda_2^{z-x}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=\lambda_1,b=\lambda_2,n=z$ とすると、 \begin{align} k \left(z\right)=\frac{{e^{- \left(\lambda_1+\lambda_2\right)} \left(\lambda_1+\lambda_2\right)}^z}{z!} \end{align} これは、ポアソン分布の確率関数 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} \end{align} において、 \begin{align} \lambda\rightarrow\lambda_1+\lambda_2 \quad x\rightarrow z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ポアソン分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{Po} \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

ポアソン分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_X \left(\theta\right)=e^{\lambda_1 \left(e^\theta-1\right)}\\ M_Y \left(\theta\right)=e^{\lambda_2 \left(e^\theta-1\right)} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Z \left(\theta\right)=M_X \left(\theta\right) \cdot M_Y \left(\theta\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&=e^{\lambda_1 \left(e^\theta-1\right)} \cdot e^{\lambda_2 \left(e^\theta-1\right)}\\ &=e^{ \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \left(e^\theta-1\right)} \end{align} これは、ポアソン分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \end{align} において、 \begin{align} \lambda\rightarrow\lambda_1+\lambda_2 \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ポアソン分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{Po} \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$