基本的な関数の微分公式

［1］$0 \lt a$ のとき
与式において \begin{gather} \frac{a}{x}=\frac{1}{t}\Leftrightarrow x=at\Leftrightarrow t=\frac{x}{a} \end{gather} とすると、 $x\rightarrow\infty \quad $のとき$ \quad t\rightarrow\infty$ したがって、 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{1}{t}\right)^{at}}= \left\{\lim_{t\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{1}{t}\right)^t}\right\}^a=e^a \end{gather}

［2］$a \lt 0$ のとき
与式において \begin{gather} \frac{a}{x}=t\Leftrightarrow x=\frac{a}{t} \end{gather} とすると、 $x\rightarrow\infty \quad $のとき$ \quad t\rightarrow0$ したがって、 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow\infty}{ \left(1+t\right)^\frac{a}{t}}= \left\{\lim_{t\rightarrow0}{ \left(1+t\right)^\frac{1}{t}}\right\}^a=e^a \end{gather}

［3］$a=0$ のとき \begin{gather} \lim_{x\rightarrow\infty}{ \left(1+0\right)^x}=1=e^0 \end{gather} $\blacksquare$

微分の定義より、 \begin{align} y^\prime&=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{e^{x+h}-e^x}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}{e^x \cdot \frac{e^h-1}{h}}\\ &=e^x \cdot \lim_{h\rightarrow0}{\frac{e^h-1}{h}}\\ &=e^x \cdot 1\\ &=e^x \end{align} $\blacksquare$

与えられた関数を \begin{gather} y=a^x \quad 0 \lt a,a \neq 1 \end{gather} とすると、 \begin{align} y^\prime&=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{a^h-1}{h}} \cdot a^x\\ &=a^x \cdot \lim_{h\rightarrow0}{\frac{a^h-1}{h}} \end{align} ここで、$a^h-1=u$ とおくと、 \begin{gather} a^h=u+1\\ h\log{a}=\log{ \left(u+1\right)}\\ \frac{1}{h}=\frac{\log{a}}{\log{ \left(u+1\right)}} \end{gather} したがって、 \begin{gather} \lim_{h\rightarrow0}{\frac{a^h-1}{h}}=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{u}{\log{ \left(u+1\right)}} \cdot \log{a}} \end{gather} $\lim_{u\rightarrow0}{\frac{u}{\log{ \left(u+1\right)}}}=1$ より、 したがって、 \begin{gather} y^\prime=a^x \cdot \log{a} \end{gather} $\blacksquare$

$a=e$ を代入すると、 \begin{gather} \left\{e^x\right\}^\prime=e^x \cdot \log{e}=e^x \end{gather}

【別解】 \begin{gather} y=a^x=e^{x\log{a}} \end{gather} とおき、 \begin{gather} x\log{a}=t \end{gather} とすると、 合成関数の微分法により、 \begin{align} y^\prime&= \left(\frac{d}{dt}e^t\right) \cdot \left(\frac{d}{dx}x\log{a}\right)\\ &=e^t \cdot \log{a}\\ &=a^x \cdot \log{a} \end{align} $\blacksquare$

与式の両辺の対数をとると、 \begin{gather} \log{y}=x\log{x} \end{gather} この両辺を $x$ で微分すると、 \begin{align} \frac{d}{dx} \left(\log{y}\right)&=x \cdot \frac{1}{x}+1 \cdot \log{x}\\ &=1+\log{x} \end{align} 対数の微分公式より、 \begin{gather} \frac{y^\prime}{y}=1+\log{x}\\ y^\prime=y \left(1+\log{x}\right)=x^x \left(1+\log{x}\right) \end{gather} $\blacksquare$

指数関数と対数関数の関係より、 \begin{gather} y=\log{x}\Leftrightarrow x=e^y \end{gather} 逆関数の微分公式より、 \begin{align} y^\prime&=\frac{1}{x^\prime}\\ &=\frac{1}{e^y}\\ &=\frac{1}{e^{\log{x}}}\\ &=\frac{1}{x} \end{align} $\blacksquare$

指数関数と対数関数の関係より、 \begin{gather} y=\log_a{x}\Leftrightarrow x=a^y \end{gather} 逆関数の微分公式より、 \begin{align} y^\prime&=\frac{1}{x^\prime}\\ &=\frac{1}{a^y\log{a}}\\ &=\frac{1}{a^{\log_a{x}}\log{a}}\\ &=\frac{1}{x\log{a}} \end{align} $\blacksquare$

\begin{gather} f \left(x\right)=t \quad y=\log{t}\\ \end{gather} とおくと、 合成関数の微分法により \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\\ &=\frac{d}{dt} \left(\log{t}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left\{f \left(x\right)\right\}\\ &=\frac{1}{t} \cdot f^\prime \left(x\right)\\ &=\frac{f^\prime \left(x\right)}{f \left(x\right)} \end{align} $\blacksquare$

与式を \begin{gather} y=x^n\tag{1} \end{gather} とする。

［i］$0 \lt x$ のとき
式 $(1)$ の両辺が正であることから、両辺の自然対数をとって、 \begin{gather} \log{y}=n\log{x} \end{gather} 両辺を $x$ で微分すると、 \begin{gather} \frac{d}{dx}\log{y}=\frac{d}{dx}n\log{x}\\ \frac{d}{dy}\log{y}\frac{dy}{dx}=\frac{n}{x}\\ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{n}{x}\\ \frac{dy}{dx}=n \cdot \frac{y}{x}\\ \end{gather} \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{n}{x} \cdot x^n\\ &=nx^{n-1} \end{align}

［ii］$x \lt 0$ のとき
$-x=u$ とおくと、 \begin{gather} y=x^n= \left(-u\right)^n= \left(-1\right)^n \cdot u^n \end{gather} 両辺を $x$ で微分すると、 \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\\ &=\frac{d}{du} \left\{ \left(-1\right)^n \cdot u^n\right\} \cdot \frac{d}{dx} \left(-x\right)\\ &= \left(-1\right)^n \cdot nu^{n-1} \cdot \left(-1\right)\\ &= \left(-1\right)^{n+1} \cdot n \left(-x\right)^{n-1}\\ &= \left(-1\right)^{n+1} \cdot \left(-1\right)^{n-1} \cdot nx^{n-1}\\ &= \left(-1\right)^{2n} \cdot nx^{n-1}\\ &= \left\{ \left(-1\right)^n\right\}^2 \cdot nx^{n-1}\\ &=nx^{n-1} \end{align}

したがって、［i］［ii］より、 \begin{gather} \frac{dy}{dx}=nx^{n-1} \end{gather} $\blacksquare$