基本的な関数の微分公式

［1］$0<a$ のとき
与式において $$\begin{array}{c}\frac{a}{x}=\frac{1}{t}\iff x=at\iff t=\frac{x}{a}\end{array}$$ とすると、 $x\to \mathrm{\infty }$のとき$t\to \mathrm{\infty }$ したがって、 $$\begin{array}{c}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{t})}^{at}={\left\{\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{t})}^t\right\}}^a=e^a\end{array}$$

［2］$a<0$ のとき
与式において $$\begin{array}{c}\frac{a}{x}=t\iff x=\frac{a}{t}\end{array}$$ とすると、 $x\to \mathrm{\infty }$のとき$t\to 0$ したがって、 $$\begin{array}{c}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+t)}^{\frac{a}{t}}={\left\{\underset{t\to 0}{lim}{(1+t)}^{\frac{1}{t}}\right\}}^a=e^a\end{array}$$

［3］$a=0$ のとき $$\begin{array}{c}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+0)}^x=1=e^0\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{e}^x\cdot \frac{e^h-1}{h}\\ & =e^x\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}\\ & =e^x\cdot 1\\ & =e^x\end{array}$$ $◼$

与えられた関数を $$\begin{array}{c}y=a^{x}0<a,a\ne 1\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\cdot a^x\\ & =a^x\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\end{array}$$ ここで、$a^h-1=u$ とおくと、 $$\begin{array}{c}{a}^h=u+1\\ h\log a=\log (u+1)\\ \frac{1}{h}=\frac{\log a}{\log (u+1)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u}{\log (u+1)}\cdot \log a\end{array}$$ $\underset{u\to 0}{lim}\frac{u}{\log (u+1)}=1$ より、 したがって、 $$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=a^x\cdot \log a\end{array}$$ $◼$

$a=e$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}{\left\{e^x\right\}}^{\prime }=e^x\cdot \log e=e^x\end{array}$$

【別解】 $$\begin{array}{c}y=a^x=e^{x\log a}\end{array}$$ とおき、 $$\begin{array}{c}x\log a=t\end{array}$$ とすると、 合成関数の微分法により、 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\left(\frac{d}{dt}{e}^t\right)\cdot (\frac{d}{dx}x\log a)\\ & =e^t\cdot \log a\\ & =a^x\cdot \log a\end{array}$$ $◼$

与式の両辺の対数をとると、 $$\begin{array}{c}\log y=x\log x\end{array}$$ この両辺を $x$ で微分すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(\log y)& =x\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \log x\\ & =1+\log x\end{array}$$ 対数の微分公式より、 $$\begin{array}{c}\frac{y^{\prime }}{y}=1+\log x\\ y^{\prime }=y(1+\log x)=x^x(1+\log x)\end{array}$$ $◼$

指数関数と対数関数の関係より、 $$\begin{array}{c}y=\log x\iff x=e^y\end{array}$$ 逆関数の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{1}{x^{\prime }}\\ & =\frac{1}{e^y}\\ & =\frac{1}{e^{\log x}}\\ & =\frac{1}{x}\end{array}$$ $◼$

指数関数と対数関数の関係より、 $$\begin{array}{c}y={\log }_{a}x\iff x=a^y\end{array}$$ 逆関数の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{1}{x^{\prime }}\\ & =\frac{1}{a^y\log a}\\ & =\frac{1}{a^{{\log }_{a}x}\log a}\\ & =\frac{1}{x\log a}\end{array}$$ $◼$

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=ty=\log t\end{array}$$ とおくと、 合成関数の微分法により $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\\ & =\frac{d}{dt}(\log t)\cdot \frac{d}{dx}\left\{f\left(x\right)\right\}\\ & =\frac{1}{t}\cdot f^{\prime }\left(x\right)\\ & =\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\end{array}$$ $◼$

与式を $$\begin{array}{}\text{(1)}& y=x^n\end{array}$$ とする。

［i］$0<x$ のとき
式 $(1)$ の両辺が正であることから、両辺の自然対数をとって、 $$\begin{array}{c}\log y=n\log x\end{array}$$ 両辺を $x$ で微分すると、 $$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\log y=\frac{d}{dx}n\log x\\ \frac{d}{dy}\log y\frac{dy}{dx}=\frac{n}{x}\\ \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{n}{x}\\ \frac{dy}{dx}=n\cdot \frac{y}{x}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{n}{x}\cdot x^n\\ & =n{x}^{n-1}\end{array}$$

［ii］$x<0$ のとき
$-x=u$ とおくと、 $$\begin{array}{c}y=x^n={(-u)}^n={(-1)}^n\cdot u^n\end{array}$$ 両辺を $x$ で微分すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =\frac{d}{du}\{{(-1)}^n\cdot u^n\}\cdot \frac{d}{dx}(-x)\\ & ={(-1)}^n\cdot n{u}^{n-1}\cdot (-1)\\ & ={(-1)}^{n+1}\cdot n{(-x)}^{n-1}\\ & ={(-1)}^{n+1}\cdot {(-1)}^{n-1}\cdot n{x}^{n-1}\\ & ={(-1)}^{2n}\cdot n{x}^{n-1}\\ & ={\left\{{(-1)}^n\right\}}^2\cdot n{x}^{n-1}\\ & =n{x}^{n-1}\end{array}$$

したがって、［i］［ii］より、 $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=n{x}^{n-1}\end{array}$$ $◼$