モーメント母関数の定義と基本性質の証明

指数関数のマクローリン展開 $e^{\theta X}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\theta }^k}{k!}{X}^k$ より、 $$\begin{array}{r}{e}^{\theta X}=1+\theta \cdot X+\frac{{\theta }^2}{2!}{X}^2+\frac{{\theta }^3}{3!}{X}^3+\cdots \end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{r}E\left(e^{\theta X}\right)=E(1+\theta \cdot X+\frac{{\theta }^2}{2!}{X}^2+\frac{{\theta }^3}{3!}{X}^3+\cdots )\end{array}$$ 期待値の性質 $E(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i+b)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}E\left(X_i\right)+b$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(e^{\theta X}\right)& =E\left(1\right)+\theta E\left(X\right)+\frac{{\theta }^2}{2!}E\left(X^2\right)+\frac{{\theta }^3}{3!}E\left(X^3\right)+\cdots \\ & =1+\theta E\left(X\right)+\frac{{\theta }^2}{2!}E\left(X^2\right)+\frac{{\theta }^3}{3!}E\left(X^3\right)+\cdots \end{array}$$ モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=E\left(e^{\theta X}\right)$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& M_X\left(\theta \right)=1+\theta E\left(X\right)+\frac{{\theta }^2}{2!}E\left(X^2\right)+\frac{{\theta }^3}{3!}E\left(X^3\right)+\cdots \end{array}$$ 式 $(1)$ の両辺を $\theta$ で微分すると、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& M_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)=E\left(X\right)+\theta E\left(X^2\right)+\frac{{\theta }^2}{2!}E\left(X^3\right)+\cdots \end{array}$$ 式 $(2)$ に $\theta =0$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}{M}_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)\end{array}$$ 以下同様に、両辺を $\theta$ で微分し、$k$ 階微分を求めて、得られた式に $\theta =0$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}{M}_X^{\left(k\right)}\left(0\right)=E\left(X^k\right)\end{array}$$ $◼$

$$\begin{array}{rl}{M}_Y\left(\theta \right)& =E\left(e^{\theta Y}\right)\\ & =E\left[e^{\theta (aX+b)}\right]\\ & =E[e^{a\theta X}\cdot e^{b\theta }]\\ & =e^{b\theta }E\left[e^{a\theta X}\right]\\ & =e^{b\theta }{M}_X\left(a\theta \right)\end{array}$$ $◼$

モーメント母関数の定義式と指数法則より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Y\left(\theta \right)& =E\left(e^{\theta Y}\right)\\ & =E\left[e^{\theta (X_1+X_2+\cdots +X_n)}\right]\\ & =E[e^{\theta X_1}\cdot e^{\theta X_2}\cdots e^{\theta X_n}]\end{array}$$ 独立なときの期待値の性質 $$\begin{array}{r}E[g\left(X_1\right)g\left(X_2\right)\cdots g\left(X_n\right)]=E\left[g\left(X_1\right)\right]\cdot E\left[g\left(X_2\right)\right]\cdots E\left[g\left(X_n\right)\right]\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Y\left(\theta \right)& =E\left[e^{\theta X_1}\right]\cdot E\left[e^{\theta X_2}\right]\cdots E\left[e^{\theta X_n}\right]\\ & =M_{X_1}\left(\theta \right)\cdot M_{X_2}\left(\theta \right)\cdot \cdots \cdot M_{X_n}\left(\theta \right)\end{array}$$ $◼$

非負の整数値のみを取る離散型確率変数の場合
確率変数 $X,Y$ の確率関数をそれぞれ、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)g\left(y\right)\end{array}$$ とし、 それぞれ共通する標本空間 $$\begin{array}{r}\mathrm{\Omega }=0,1,2,\cdots m\end{array}$$ を有するとする。 仮定より、任意の実数 $\left|\theta \right|<\mathrm{\infty }$ に対し、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=M_Y\left(\theta \right)\end{array}$$ モーメント母関数の定義より、 $$\begin{array}{c}\sum _{k=0}^m{e}^{\theta x}\cdot P(X=k)=\sum _{k=0}^m{e}^{\theta y}\cdot P(Y=k)\\ \sum _{k=0}^m{e}^{\theta k}\cdot f\left(k\right)=\sum _{k=0}^m{e}^{\theta k}\cdot g\left(k\right)\end{array}$$ 右辺を左辺に移行すると、 $$\begin{array}{r}\sum _{k=0}^m{e}^{\theta k}\{f\left(k\right)-g\left(k\right)\}=0\end{array}$$ $k=0,1,\cdots ,m$ に対し、 $$\begin{array}{r}{a}_k=f\left(k\right)-g\left(k\right)\end{array}$$ とおくと、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{k=0}^m{a}_k\cdot e^{\theta k}=0\end{array}$$ $0<e^{\theta k}$ であるから、すべての $k=0,1,\cdots ,m$ に対し、式 $(1)$ が成り立つためには、 $$\begin{array}{c}{a}_k=0\\ f\left(k\right)=g\left(k\right)\end{array}$$ 確率関数が同じであれば、分布関数も同様に、 $$\begin{array}{c}{a}_k=0\\ F\left(k\right)=P(X\le k)=\sum _{t=0}^{k}f\left(t\right)=\sum _{t=0}^{k}g\left(t\right)=P(Y\le k)=G\left(k\right)\end{array}$$ $◼$

連続型の場合については、フビニの定理やフーリエの逆変換公式、ルベーグ積分など、大学専門レベルの知識を必要とし、筆者の理解を超えるのでここまでとします（気になる方は、参考文献の最も下のリンク先をご参照ください）。 $◼$