ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

公開日： 2023/03/20

本稿では、定義に沿った方法でポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。いずれの場合も指数関数のマクローリン展開を使います。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【定理】ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【定理】ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数

【定理】
ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF of Poisson Distribution

ポアソン分布 $Po (λ)$ の確率母関数 $G_{X} (θ)$ とモーメント母関数 $M_{X} (θ)$ は、 $\begin{matrix} G_{X} (θ) = e^{λ (θ - 1)} \\ M_{X} (θ) = e^{λ (e^{θ} - 1)} \end{matrix}$ で与えられる。

導出

（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_{X} (θ) = \sum_{x = 0}^{\infty} θ^{x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} G_{X} (θ) & = \sum_{x = 0}^{n} θ^{x} \cdot \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} \\ = \sum_{x = 0}^{n} \frac{{(θ λ)}^{x} e^{- λ}}{x!} \\ = e^{- λ} \sum_{x = 0}^{n} \frac{{(θ λ)}^{x}}{x!} \end{aligned}$ 指数関数のマクローリン展開 $e^{α} = \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{α^{x}}{x!}$ より、 $α = θ λ$ とすると、 $\begin{aligned} G_{X} (θ) & = e^{- λ} \cdot e^{θ λ} \\ = e^{λ (θ - 1)} \end{aligned}$ $◼$

（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_{X} (θ) = \sum_{x = - \infty}^{\infty} e^{θ x} \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = \sum_{x = 0}^{\infty} e^{θ x} \cdot \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ} \\ = e^{- λ} \sum_{x = 0}^{\infty} \cdot \frac{{(λ e^{θ})}^{x}}{x!} \end{aligned}$ 指数関数のマクローリン展開 $e^{α} = \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{α^{x}}{x!}$ より、 $α = λ e^{θ}$ とすると、 $\begin{aligned} M_{X} (θ) & = e^{- λ} \cdot e^{λ e^{θ}} \\ = e^{- λ + λ e^{θ}} \\ = e^{λ (e^{θ} - 1)} \end{aligned}$ $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.112-113
竹村彰通著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.27
稲垣宣生著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.32
久保川達也著, 新井仁之, 小林俊行, 斎藤毅, 吉田朋広編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.34
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.87

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