本稿では、定義に沿った方法でポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数を導出しています。いずれの場合も指数関数のマクローリン展開を使います。
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【定理】ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数
【定理】
ポアソン分布の確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF of Poisson Distribution
ポアソン分布 $\mathrm{Po} \left(\lambda\right)$ の確率母関数 $G_X \left(\theta\right)$ とモーメント母関数 $M_X \left(\theta\right)$ は、 \begin{gather} G_X \left(\theta\right)=e^{\lambda \left(\theta-1\right)}\\ M_X \left(\theta\right)=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \end{gather} で与えられる。
導出
（i）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{n}{\theta^x \cdot \ \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}}\\
&=\sum_{x=0}^{n}\frac{ \left(\theta\lambda\right)^xe^{-\lambda}}{x!}\\
&=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{n}\frac{ \left(\theta\lambda\right)^x}{x!}
\end{align}
指数関数のマクローリン展開 $e^\alpha=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\alpha^x}{x!}$ より、$\alpha=\theta\lambda$ とすると、
\begin{align}
G_X \left(\theta\right)&=e^{-\lambda} \cdot e^{\theta\lambda}\\
&=e^{\lambda \left(\theta-1\right)}
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、
\begin{align}
M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}}\\
&=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}{ \cdot \frac{ \left(\lambda e^\theta\right)^x}{x!}}
\end{align}
指数関数のマクローリン展開 $e^\alpha=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\alpha^x}{x!}$ より、$\alpha=\lambda e^\theta$ とすると、
\begin{align}
M_X \left(\theta\right)&=e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda e^\theta}\\
&=e^{-\lambda+\lambda e^\theta}\\
&=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)}
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.112-113
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.27
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.32
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.34
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.87
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