ポアソン分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \cdot \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}} \end{align} $x=0$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left(X\right)&=0 \cdot \frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}+\sum_{x=1}^{\infty}{x \cdot \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}}\\ &=\sum_{x=1}^{\infty}{x \cdot \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}}\\ &=\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{ \left(x-1\right)!}\\ \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} E \left(X\right)&=\lambda e^{-\lambda}\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}}{ \left(x-1\right)!}\tag{1} \end{align} ここで、$y=x-1$ と変数変換すると、 $x:1\rightarrow\infty \quad $のとき$ \quad y:0\rightarrow\infty$ となるので、 式 $(1)$ は、 \begin{align} E \left(X\right)=\lambda e^{-\lambda}\sum_{y=0}^{\infty}\frac{\lambda^y}{y!} \end{align} 指数関数のマクローリン展開 $\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!}=e^\lambda$ より、 \begin{align} E \left(X\right)=\lambda e^{-\lambda} \cdot e^\lambda=\lambda \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdot \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}} \end{align} $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=0+0+\sum_{x=2}^{n}\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{ \left(x-2\right)!}\\ &=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{x=2}^{\infty}\frac{\lambda^{x-2}}{ \left(x-2\right)!}\tag{2} \end{align} ここで、$z=x-2$ と変数変換すると、 $x:2\rightarrow\infty \quad $のとき$ \quad z:0\rightarrow\infty$ となるので、 式 $(2)$ は、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{z=0}^{\infty}\frac{\lambda^z}{z!} \end{align} 指数関数のマクローリン展開 $\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!}=e^\lambda$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\lambda^2e^{-\lambda} \cdot e^\lambda=\lambda^2 \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
ポアソン分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=e^{\lambda \left(\theta-1\right)} \end{align} 確率母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=e^{\lambda \left(\theta-1\right)} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\lambda\theta-\lambda\right)\\ &=\lambda e^{\lambda \left(\theta-1\right)} \end{align} 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\lambda e^{\lambda \left(1-1\right)}\\ &=\lambda \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\lambda e^{\lambda \left(\theta-1\right)} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\lambda\theta-\lambda\right)\\ &=\lambda^2e^{\lambda \left(\theta-1\right)} \end{align} 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\lambda^2e^{\lambda \left(1-1\right)}\\ &=\lambda^2 \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\lambda^2+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
ポアソン分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\lambda e^\theta-\lambda\right)\\ &=e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \cdot \lambda e^\theta\\ \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=e^{\lambda \left(1-1\right)} \cdot \lambda e^0\\ &=\lambda \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\lambda e^\theta \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)}\right\}+e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\lambda e^\theta\right)\\ &=\lambda e^\theta \cdot e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \cdot \lambda e^\theta+e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \cdot \lambda e^\theta\\ &=\lambda^2e^{2\theta} \cdot e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)}+\lambda e^\theta \cdot e^{\lambda \left(e^\theta-1\right)} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\lambda^2e^0 \cdot e^{\lambda \left(1-1\right)}+\lambda e^0 \cdot e^{\lambda \left(1-1\right)}\\ &=\lambda^2+\lambda \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\lambda^2+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda \end{align} $\blacksquare$