ポアソン分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\end{array}$$ $x=0$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =0\cdot \frac{{\lambda }^0{e}^{-\lambda }}{0!}+\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\\ & =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\\ & =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{(x-1)!}\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& E\left(X\right)& =\lambda e^{-\lambda }\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{x-1}}{(x-1)!}\end{array}$$ ここで、$y=x-1$ と変数変換すると、 $x:1\to \mathrm{\infty }$のとき$y:0\to \mathrm{\infty }$ となるので、 式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\lambda e^{-\lambda }\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^y}{y!}\end{array}$$ 指数関数のマクローリン展開 $\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{x!}=e^{\lambda }$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\lambda e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }=\lambda \end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\end{array}$$ $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =0+0+\sum _{x=2}^n\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{(x-2)!}\\ \text{(2)}& & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{x-2}}{(x-2)!}\end{array}$$ ここで、$z=x-2$ と変数変換すると、 $x:2\to \mathrm{\infty }$のとき$z:0\to \mathrm{\infty }$ となるので、 式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{r}E\left\{X(X-1)\right\}={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{z=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^z}{z!}\end{array}$$ 指数関数のマクローリン展開 $\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{x!}=e^{\lambda }$ より、 $$\begin{array}{r}E\left\{X(X-1)\right\}={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }={\lambda }^2\end{array}$$ 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(X\right)={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda \end{array}$$ $◼$

（i）期待値
ポアソン分布の確率母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=e^{\lambda (\theta -1)}\end{array}$$ 確率母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =e^{\lambda (\theta -1)}\cdot \frac{d}{d\theta }(\lambda \theta -\lambda )\\ & =\lambda e^{\lambda (\theta -1)}\end{array}$$ 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(1\right)}\left(1\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\lambda e^{\lambda (1-1)}\\ & =\lambda \end{array}$$ $◼$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =\lambda e^{\lambda (\theta -1)}\cdot \frac{d}{d\theta }(\lambda \theta -\lambda )\\ & ={\lambda }^2{e}^{\lambda (\theta -1)}\end{array}$$ 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(2\right)}\left(1\right)=E\left\{X(X-1)\right\}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& ={\lambda }^2{e}^{\lambda (1-1)}\\ & ={\lambda }^2\end{array}$$ 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& ={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2\\ & =\lambda \end{array}$$ $◼$

（i）期待値
ポアソン分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\cdot \frac{d}{d\theta }(\lambda e^{\theta }-\lambda )\\ & =e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\cdot \lambda e^{\theta }\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =e^{\lambda (1-1)}\cdot \lambda e^0\\ & =\lambda \end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =\lambda e^{\theta }\cdot \frac{d}{d\theta }\left\{e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\right\}+e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\cdot \frac{d}{d\theta }\left(\lambda e^{\theta }\right)\\ & =\lambda e^{\theta }\cdot e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\cdot \lambda e^{\theta }+e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\cdot \lambda e^{\theta }\\ & ={\lambda }^2{e}^{2\theta }\cdot e^{\lambda (e^{\theta }-1)}+\lambda e^{\theta }\cdot e^{\lambda (e^{\theta }-1)}\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\lambda }^2{e}^0\cdot e^{\lambda (1-1)}+\lambda e^0\cdot e^{\lambda (1-1)}\\ & ={\lambda }^2+\lambda \end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& ={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2\\ & =\lambda \end{array}$$ $◼$