独立性の検定の検定統計量の公式の導出

独立性の定義 $P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$ より、帰無仮説において、 $$\begin{array}{c}{\pi }_{11}={\pi }_D\cdot {\pi }_E\\ {\pi }_{12}={\pi }_E(1-{\pi }_D)\\ {\pi }_{21}={\pi }_D(1-{\pi }_E)\\ {\pi }_{22}=(1-{\pi }_D)(1-{\pi }_E)\end{array}$$ 各セルの度数は、 $$\begin{array}{c}a=N{\pi }_{11}=N\cdot {\pi }_D\cdot {\pi }_E\\ b=N{\pi }_{12}=N\cdot {\pi }_E(1-{\pi }_D)\\ c=N{\pi }_{21}=N\cdot {\pi }_D(1-{\pi }_E)\\ d=N{\pi }_{22}=N\cdot (1-{\pi }_D)(1-{\pi }_E)\end{array}$$ 周辺確率の最尤推定量は、それぞれ $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_D=\frac{m_1}{N}\\ {\hat{\pi }}_E=\frac{n_1}{N}\\ 1-{\hat{\pi }}_D=\frac{m_2}{N}\\ 1-{\hat{\pi }}_E=\frac{n_2}{N}\end{array}$$ 帰無仮説のもとでの各セルの期待値の一致推定量は、 $$\begin{array}{c}\hat{E}\left(a\right)=\frac{n_1{m}_1}{N}=\frac{(a+c)(a+b)}{N}\\ \hat{E}\left(b\right)=\frac{n_2{m}_1}{N}=\frac{(a+b)(b+d)}{N}\\ \hat{E}\left(c\right)=\frac{n_1{m}_2}{N}=\frac{(a+c)(c+d)}{N}\\ \hat{E}\left(d\right)=\frac{n_2{m}_2}{N}=\frac{(b+d)(c+d)}{N}\end{array}$$ 定義式に沿って、帰無仮説における検定統計量の値を算出すると、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\chi }_0^2=\frac{{[a-\hat{E}\left(a\right)]}^2}{\hat{E}\left(a\right)}+\frac{{[b-\hat{E}\left(b\right)]}^2}{\hat{E}\left(b\right)}+\frac{{[c-\hat{E}\left(c\right)]}^2}{\hat{E}\left(c\right)}+\frac{{[d-\hat{E}\left(d\right)]}^2}{\hat{E}\left(d\right)}\end{array}$$ それぞれの項を計算すると、 $$\begin{array}{rl}a-\hat{E}\left(a\right)& =a-\frac{(a+c)(a+b)}{N}\\ & =\frac{a(a+b+c+d)-(a+c)(a+b)}{N}\\ \text{(2)}& & =\frac{ad-bc}{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}b-\hat{E}\left(b\right)& =b-\frac{(a+b)(b+d)}{N}\\ & =\frac{b(a+b+c+d)-(a+b)(b+d)}{N}\\ \text{(3)}& & =-\frac{ad-bc}{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}c-\hat{E}\left(c\right)& =c-\frac{(a+c)(c+d)}{N}\\ & =\frac{c(a+b+c+d)-(a+c)(c+d)}{N}\\ \text{(4)}& & =-\frac{ad-bc}{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}d-\hat{E}\left(d\right)& =d-\frac{(b+d)(c+d)}{N}\\ & =\frac{d(a+b+c+d)-(b+d)(c+d)}{N}\\ \text{(5)}& & =\frac{ad-bc}{N}\end{array}$$ 式 $(2)～(5)$ を式 $(1)$ に代入すると、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_0^2& ={\left(\frac{ad-bc}{N}\right)}^2\{\frac{N}{(a+c)(a+b)}+\frac{N}{(a+b)(b+d)}+\frac{N}{(a+c)(c+d)}+\frac{N}{(b+d)(c+d)}\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(b+d)(c+d)+(a+c)(c+d)+(a+b)(b+d)+(a+b)(a+c)}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(a+c)(a+b+c+d)+(b+d)(a+b+c+d)}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(a+b+c+d)(a+b+c+d)}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\cdot \frac{N^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\\ & =\frac{N{(ad-bc)}^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\end{array}$$ $◼$