順序統計量の分布の導出

（i）累積分布関数
$x$ を固定し、 $X_i$ が $x$ 以下のときは「成功」、
$x$ を越えるときは「失敗」 とすると、形式的にベルヌーイ試行であると見ることができる。 したがって、$X_i\le x$ となるデータの個数を $Y$ とすると、$Y$ は二項分布 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{B}\{n,F\left(x\right)\}\end{array}$$ に従う。 ゆえに、二項分布の確率関数の定義式より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& f\left(y\right)=P(Y=y)={}_n{C}_y{\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y}\end{array}$$ ここで、累積分布関数の定義式より、 $$\begin{array}{r}{F}_i\left(x\right)=P[X_{\left(i\right)}\le x]\end{array}$$ すなわち、$i$ 番目の値が $x$ となるためには、 $X_i\le x$ となるデータの個数が $i$ 個以上 となればよいので、 式 $(1)$ を用いると、 $$\begin{array}{r}{F}_i\left(x\right)=\sum _{y=i}^n{}_n{C}_y{\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y}\end{array}$$ $◼$

（ii）連続型の場合の確率密度関数
累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ から、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{f}_i\left(x\right)& =\sum _{y=i}^n{}_n{C}_y[y{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{y-1}\cdot {\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y}\cdot f\left(x\right)+{\left\{F\left(x\right)\right\}}^y\cdot (n-y){\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y-1}\cdot \{-f\left(x\right)\}]\\ & =\sum _{y=i}^n{}_n{C}_{y}y{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{y-1}{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y}f\left(x\right)-\sum _{y=i}^n{}_n{C}_y(n-y){\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y-1}f\left(x\right)\end{array}$$ 右辺第1項の $y=i$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{c}{f}_i\left(x\right)={}_n{C}_{i}i{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{i-1}{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-i}f\left(x\right)\hfill \\ +\sum _{y=i+1}^n{}_n{C}_{y}y{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{y-1}{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y}f\left(x\right)\\ \hfill -\sum _{y=i}^n{}_n{C}_y(n-y){\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y-1}f\left(x\right)\end{array}$$ さらに変形すると、右辺第3項の $y=n$ のときの項は、0だから、 $$\begin{array}{c}{f}_i\left(x\right)=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{i-1}\cdot {\{1-F\left(x\right)\}}^{n-i}\cdot f\left(x\right)\hfill \\ +\sum _{y=i}^{n-1}{}_n{C}_{y+1}(y+1){\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-k-1}f\left(x\right)\\ \hfill -\sum _{y=i}^{n-1}{}_n{C}_y(n-y){\left\{F\left(x\right)\right\}}^y{\{1-F\left(x\right)\}}^{n-y-1}f\left(x\right)\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{r}{}_n{C}_{y+1}(y+1)=\frac{n!}{y!(n-y-1)!}={}_n{C}_y(n-y)\end{array}$$ したがって、第2項と第3項が相殺されるので、 $$\begin{array}{r}{f}_i\left(x\right)=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}{\left\{F\left(x\right)\right\}}^{i-1}\cdot {\{1-F\left(x\right)\}}^{n-i}\cdot f\left(x\right)\end{array}$$ $◼$