ガンマ分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha+1-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha+1-1}e^{-\beta x}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x}dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\Gamma \left(\alpha+1\right)}{\beta^{\alpha+1}} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha+1\right)=\alpha\Gamma \left(\alpha\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\alpha\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^{\alpha+1}}\\ &=\frac{\alpha}{\beta} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x^2 \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot \frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha+2-1}e^{-\beta x}dx}\\ &=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha+2-1}e^{-\beta x}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x}dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\Gamma \left(\alpha+2\right)}{\beta^{\alpha+2}} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha+2\right)=\alpha \left(\alpha+1\right)\Gamma \left(\alpha\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)} \cdot \frac{\alpha \left(\alpha+1\right)\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^{\alpha+2}}\\ &=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)}{\beta^2} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)}{\beta^2}-\frac{\alpha^2}{\beta^2}\\ &=\frac{\alpha}{\beta^2} \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
指数分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{\beta^\alpha}{ \left(\beta-\theta\right)^\alpha} \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=\beta^\alpha \cdot \left\{-\frac{\alpha}{ \left(\beta-\theta\right)^{\alpha+1}}\right\} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\beta-\theta\right)\\ &=\frac{\alpha\beta^\alpha}{ \left(\beta-\theta\right)^{\alpha+1}} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{\alpha\beta^\alpha}{\beta^{\alpha+1}}\\ &=\frac{\alpha}{\beta} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\alpha\beta^\alpha \cdot \left\{-\frac{\alpha+1}{ \left(\beta-\theta\right)^{\alpha+2}}\right\} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\beta-\theta\right)\\ &=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)\beta^\alpha}{ \left(\beta-\theta\right)^{\alpha+2}} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)\beta^\alpha}{\beta^{\alpha+2}}\\ &=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)}{\beta^2} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{\alpha \left(\alpha+1\right)}{\beta^2}-\frac{\alpha^2}{\beta^2}\\ &=\frac{\alpha}{\beta^2} \end{align} $\blacksquare$

ガンマ分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に指数分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,\alpha\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_\alpha \end{align} また、指数分布の期待値と分散の公式より、 \begin{gather} E \left(X\right)=\frac{1}{\beta}\\ V \left(X\right)=\frac{1}{\beta^2} \end{gather} 期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(Y\right)=E \left(\sum_{i=1}^{\alpha}X_i\right)=\sum_{i=1}^{\alpha}\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha}{\beta} \end{align} 分散の性質 $V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} V \left(Y\right)=V \left(\sum_{i=1}^{\alpha}X_i\right)=\sum_{i=1}^{\alpha}\frac{1}{\beta^2}=\frac{\alpha}{\beta^2} \end{align} $\blacksquare$