ガンマ分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha +1-1}{e}^{-\beta x}dx\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +1-1}{e}^{-\beta x}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x}dx$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{{\beta }^{\alpha +1}}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha +1}}\\ & =\frac{\alpha }{\beta }\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{x}^2\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha +2-1}{e}^{-\beta x}dx\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +2-1}{e}^{-\beta x}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x}dx$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)}{{\beta }^{\alpha +2}}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)=\alpha (\alpha +1)\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\alpha (\alpha +1)\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha +2}}\\ & =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}-\frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}\\ & =\frac{\alpha }{{\beta }^2}\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
指数分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{{(\beta -\theta )}^{\alpha }}\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& ={\beta }^{\alpha }\cdot \{-\frac{\alpha }{{(\beta -\theta )}^{\alpha +1}}\}\cdot \frac{d}{d\theta }(\beta -\theta )\\ & =\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{{(\beta -\theta )}^{\alpha +1}}\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{{\beta }^{\alpha +1}}\\ & =\frac{\alpha }{\beta }\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot \{-\frac{\alpha +1}{{(\beta -\theta )}^{\alpha +2}}\}\cdot \frac{d}{d\theta }(\beta -\theta )\\ & =\frac{\alpha (\alpha +1){\beta }^{\alpha }}{{(\beta -\theta )}^{\alpha +2}}\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{\alpha (\alpha +1){\beta }^{\alpha }}{{\beta }^{\alpha +2}}\\ & =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}-\frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}\\ & =\frac{\alpha }{{\beta }^2}\end{array}$$ $◼$

ガンマ分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に指数分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,\alpha )$ の和と考えると、 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_{\alpha }\end{array}$$ また、指数分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(X\right)=\frac{1}{\beta }\\ V\left(X\right)=\frac{1}{{\beta }^2}\end{array}$$ 期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=E\left(\sum _{i=1}^{\alpha }{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{\alpha }\frac{1}{\beta }=\frac{\alpha }{\beta }\end{array}$$ 分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(Y\right)=V\left(\sum _{i=1}^{\alpha }{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{\alpha }\frac{1}{{\beta }^2}=\frac{\alpha }{{\beta }^2}\end{array}$$ $◼$