負の二項分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
負の二項分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=\frac{p^n}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^n} \end{align} 確率母関数の1階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=-n \cdot \frac{p^n}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-\frac{np^n}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \cdot \left\{- \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{np^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \end{align} 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{np^n \left(1-p\right)}{ \left\{1- \left(1-p\right)\right\}^{n+1}}\\ &=\frac{np^n \left(1-p\right)}{p^{n+1}}\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=-\frac{n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+2}} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-\frac{n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+2}} \cdot \left\{- \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+2}} \end{align} 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\frac{n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)^2}{ \left\{1- \left(1-p\right)\right\}^{n+2}}\\ &=\frac{n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)^2}{p^{n+2}}\\ &=\frac{n \left(n+1\right) \left(1-p\right)^2}{p^2} \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{n \left(n+1\right) \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{n \left(1-p\right)}{p}-\frac{n^2 \left(1-p\right)^2}{p^2}\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2} \left\{ \left(n+1\right) \left(1-p\right)+p-n \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2} \left(n-np+1-p+p-n+np\right)\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2} \cdot 1\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2}\\ \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
負の二項分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)=\frac{p^n}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^n} \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=-n \cdot \frac{p^n}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=-\frac{np^n}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \cdot \left\{-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\\ &=\frac{e^\theta \cdot n p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{e^0 \cdot n p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^{n+1}}\\ &=\frac{np^n \left(1-p\right)}{p^{n+1}}\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p} \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、商の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=e^\theta np^n \left(1-p\right) \cdot \frac{d}{d\theta} \left[\frac{1}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}}\right]+\frac{np^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \cdot \frac{d}{d\theta}e^\theta\\ &= \left[-\frac{e^\theta \cdot n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+2}} \cdot \frac{d}{d\theta} \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}\right]+\frac{e^\theta \cdot n p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}}\\ &=\frac{e^\theta \cdot n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+2}}+\frac{e^\theta \cdot n p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^\theta \left(1-p\right)\right\}^{n+1}} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{e^0 \cdot n \left(n+1\right)p^n \left(1-p\right)^2}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^{n+2}}+\frac{e^0 \cdot n p^n \left(1-p\right)}{ \left\{1-e^0 \left(1-p\right)\right\}^{n+1}}\\ &=\frac{n \left(n+1\right) \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{n \left(1-p\right)}{p}\\ \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{n \left(n+1\right) \left(1-p\right)^2}{p^2}+\frac{n \left(1-p\right)}{p}-\frac{ \left(1-p\right)^2}{p^2}\\ &=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2}\\ \end{align} $\blacksquare$

負の二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に幾何分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_n \end{align} また、幾何分布の期待値と分散の公式より、 \begin{gather} E \left(X\right)=\frac{1-p}{p}\\ V \left(X\right)=\frac{1-p}{p^2} \end{gather} 期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(Y\right)=E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1-p}{p}=\frac{n \left(1-p\right)}{p} \end{align} 分散の性質 $V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} V \left(Y\right)=V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1-p}{p^2}=\frac{n \left(1-p\right)}{p^2} \end{align} $\blacksquare$