カイ2乗分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{-\infty}^{0}{e^{\theta x} \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{- \left(\frac{1}{2}-\theta\right)x}dx} \end{align} ここで、$x\rightarrow\infty$ のときにモーメント母関数が存在するためには、指数のべき乗部分が負である必要があるので、 \begin{gather} - \left(\frac{1}{2}-\theta\right) \lt 0\\ \theta \lt \frac{1}{2} \end{gather} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left(\frac{1}{2}-\theta\right)x=\frac{s}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{1-2\theta}s\\ \frac{dx}{ds}=\frac{1}{1-2\theta}\Rightarrow dx=\frac{1}{1-2\theta}ds\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad s:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{s}{1-2\theta}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}} \cdot \frac{1}{1-2\theta}ds}\\ &= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}s^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}}ds} \end{align} ここで、右辺の積分部分の中身は、$\chi^2 \left(n\right)$ の確率密度関数なので、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}s^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}}ds}=1 \end{align} したがって、 \begin{align} \begin{matrix}M_X \left(\theta\right)= \left(\displaystyle\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n}{2}&\theta \lt \displaystyle\frac{1}{2}\\\end{matrix} \end{align} $\blacksquare$

ガンマ分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^\alpha \end{align} $\chi^2$分布とガンマ分布の関係より、 \begin{align} \chi^2 \left(n\right)=\mathrm{Ga} \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) \end{align} したがって、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\theta}\right)^\frac{n}{2}= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n}{2} \end{align} $\blacksquare$