カイ2乗分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{\theta x}\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-(\frac{1}{2}-\theta )x}dx\end{array}$$ ここで、$x\to \mathrm{\infty }$ のときにモーメント母関数が存在するためには、指数のべき乗部分が負である必要があるので、 $$\begin{array}{c}-(\frac{1}{2}-\theta )<0\\ \theta <\frac{1}{2}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}(\frac{1}{2}-\theta )x=\frac{s}{2}\iff x=\frac{1}{1-2\theta }s\\ \frac{dx}{ds}=\frac{1}{1-2\theta }\Rightarrow dx=\frac{1}{1-2\theta }ds\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow s:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{s}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}\cdot \frac{1}{1-2\theta }ds\\ & ={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{s}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}ds\end{array}$$ ここで、右辺の積分部分の中身は、${\chi }^2\left(n\right)$ の確率密度関数なので、 $$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{s}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}ds=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}{M}_X\left(\theta \right)={\left({\displaystyle \frac{1}{1-2\theta }}\right)}^{\frac{n}{2}}& \theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$$ $◼$

ガンマ分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{\alpha }\end{array}$$ ${\chi }^2$分布とガンマ分布の関係より、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\left(n\right)=\mathrm{Ga}(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\theta }\right)}^{\frac{n}{2}}={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n}{2}}\end{array}$$ $◼$