本稿では、ベータ分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、期待値・分散、最頻値の紹介が含まれます。
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ベータ分布
確率密度関数
確率密度関数 $f(x)$ が \begin{gather} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}&0 \lt x \lt 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ 0 \lt \alpha \quad 0 \lt \beta \end{gather} で与えられる連続型確率分布をベータ分布 beta distribution という。
略記法
また、ベータ分布は、 \begin{align} \mathrm{Be} \left(\alpha,\beta\right) \end{align} と略記されることがある。
他の分布との関係
特に、$\alpha=1,\beta=1$ のときは、連続一様分布 $\mathrm{U} \left(0,1\right)$ に等しい。
確率密度関数であることの証明
（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{gather}
0 \lt x \lt 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}0 \lt x^{\alpha-1}\\0 \lt \left(1-x\right)^{\beta-1}\\\end{matrix}\right.\\
0 \lt B \left(\alpha,\beta\right)\Rightarrow0 \lt \frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}
\end{gather}
したがって、
\begin{align}
f \left(x\right)=\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1} \gt 0
\end{align}
（ii）すべての確率の和が1
ベータ関数の定義式 $B \left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}{x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}dx}$ より、
\begin{align}
\int_{0}^{1}f \left(x\right)dx=\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}\int_{0}^{1}{x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}dx}=\frac{B \left(\alpha,\beta\right)}{B \left(\alpha,\beta\right)}=1
\end{align}
$\blacksquare$
重要事項のまとめ
略記法
\begin{align} \mathrm{Be} \left(\alpha,\beta\right) \end{align}
パラメータ
\begin{gather} 0 \lt \alpha\\ 0 \lt \beta \end{gather}
確率密度関数
\begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}&0 \lt x \lt 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align}
期待値
\begin{align} E \left(X\right)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \end{align}
分散
\begin{align} V \left(X\right)=\frac{\alpha\beta}{ \left(\alpha+\beta\right)^2 \left(\alpha+\beta+1\right)} \end{align}
最頻値
\begin{align} Mo \left(X\right)=\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} \end{align}
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.60
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.142-143
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.44-45
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.114-116
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