ベータ分布の定義と概要

本稿では、ベータ分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、期待値・分散、最頻値の紹介が含まれます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

ベータ分布

確率密度関数

確率密度関数 $f(x)$ が $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}}& 0<x<1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ 0<\alpha 0<\beta \end{array}$$ で与えられる連続型確率分布をベータ分布 beta distribution という。

略記法

また、ベータ分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )\end{array}$$ と略記されることがある。

他の分布との関係

特に、$\alpha =1,\beta =1$ のときは、連続一様分布 $\mathrm{U}(0,1)$ に等しい。

確率密度関数であることの証明

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{Be}(\alpha ,\beta )\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}0<\alpha \\ 0<\beta \end{array}$$

確率密度関数

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}}& 0<x<1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)=\frac{\alpha \beta }{{(\alpha +\beta )}^2(\alpha +\beta +1)}\end{array}$$

最頻値

$$\begin{array}{r}Mo\left(X\right)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}\end{array}$$

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.60
• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.142-143
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.44-45
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.114-116

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