カイ2乗分布の再生性

確率変数のたたみこみの公式 $k\left(z\right)={\int }_0^{z}g\left(x\right)\cdot h(s-x)$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(z\right)& ={\int }_0^z\left\{\frac{1}{2^{\frac{n_1}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)}{x}^{\frac{n_1}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\right\}\cdot \left\{\frac{1}{2^{\frac{n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{(z-x)}^{\frac{n_2}{2}-1}{e}^{-\frac{z-x}{2}}\right\}dx\\ & =\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{\int }_0^z{x}^{\frac{n_1}{2}-1}\cdot {\left\{z(1-\frac{x}{z})\right\}}^{\frac{n_2}{2}-1}dx\\ & =\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{\int }_0^z{x}^{\frac{n_1}{2}-1}{(1-\frac{x}{z})}^{\frac{n_2}{2}-1}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}u=\frac{x}{z}\iff x=uz\\ \frac{dx}{du}=z\Rightarrow dx=zdu\\ x:0\to z\Rightarrow u:0\to 1\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}k\left(z\right)& =\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{\int }_0^1{\left(uz\right)}^{\frac{n_1}{2}-1}{(1-u)}^{\frac{n_2}{2}-1}\cdot zdu\\ & =\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{\int }_0^1{u}^{\frac{n_1}{2}-1}{(1-u)}^{\frac{n_2}{2}-1}du\end{array}$$ ベータ関数の定義式 $B(s,t)={\int }_0^1{u}^{s-1}{(1-u)}^{t-1}du$ より、 $$\begin{array}{r}k\left(z\right)=\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}\cdot B(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2})\end{array}$$ ベータ関数の性質 $B(s,t)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(s\right)\mathrm{\Gamma }\left(t\right)}{\mathrm{\Gamma }(s+t)}$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(z\right)& =\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_2}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n_1+n_2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}\cdot z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}\end{array}$$ これは、${\chi }^2$分布の確率密度関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}x\to z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}Z\sim {\chi }^2(n_1+n_2)\end{array}$$ に従う。 $◼$

${\mathit{\chi }}^{\mathbf{2}}$分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n_1}{2}}\\ M_Y\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n_2}{2}}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& ={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n_1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n_2}{2}}\\ & ={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n_1+n_2}{2}}\end{array}$$ これは、${\mathit{\chi }}^{\mathbf{2}}$分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n}{2}}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、${\mathit{\chi }}^{\mathbf{2}}$分布 $$\begin{array}{r}Z\sim {\chi }^2(n_1+n_2)\end{array}$$ に従う。 $◼$

${\chi }^2$分布とガンマ分布の関係より、 $$\begin{array}{c}{\chi }^2\left(n_1\right)=\mathrm{Ga}(\frac{n_1}{2},\frac{1}{2})\\ {\chi }^2\left(n_2\right)=\mathrm{Ga}(\frac{n_2}{2},\frac{1}{2})\end{array}$$ ガンマ分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\left(n_1\right)+{\chi }^2\left(n_2\right)=\mathrm{Ga}(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2},\frac{1}{2})={\chi }^2(n_1+n_2)\end{array}$$ $◼$