カイ2乗分布の再生性

確率変数のたたみこみの公式 $k \left(z\right)=\int_{0}^{z}{g \left(x\right) \cdot h \left(s-x\right)}$ より、 \begin{align} k \left(z\right)&=\int_{0}^{z}{ \left\{\frac{1}{2^\frac{n_1}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)}x^{\frac{n_1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\right\} \cdot \left\{\frac{1}{2^\frac{n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)} \left(z-x\right)^{\frac{n_2}{2}-1}e^{-\frac{z-x}{2}}\right\}dx}\\ &=\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}\int_{0}^{z}{x^{\frac{n_1}{2}-1} \cdot \left\{z \left(1-\frac{x}{z}\right)\right\}^{\frac{n_2}{2}-1}dx}\\ &=\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}\int_{0}^{z}{x^{\frac{n_1}{2}-1} \left(1-\frac{x}{z}\right)^{\frac{n_2}{2}-1}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} u=\frac{x}{z}\Leftrightarrow x=uz\\ \frac{dx}{du}=z\Rightarrow dx=zdu\\ x:0\rightarrow z \quad \Rightarrow \quad u:0\rightarrow1 \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} k \left(z\right)&=\frac{z^{\frac{n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}\int_{0}^{1}{ \left(uz\right)^{\frac{n_1}{2}-1} \left(1-u\right)^{\frac{n_2}{2}-1} \cdot z d u}\\ &=\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}\int_{0}^{1}{u^{\frac{n_1}{2}-1} \left(1-u\right)^{\frac{n_2}{2}-1}du} \end{align} ベータ関数の定義式 $B \left(s,t\right)=\int_{0}^{1}{u^{s-1} \left(1-u\right)^{t-1}du}$ より、 \begin{align} k \left(z\right)=\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot B \left(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2}\right) \end{align} ベータ関数の性質 $B \left(s,t\right)=\frac{\Gamma \left(s\right)\Gamma \left(t\right)}{\Gamma \left(s+t\right)}$ より、 \begin{align} k \left(z\right)&=\frac{z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}}}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)} \cdot \frac{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n_1+n_2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)} \cdot z^{\frac{n_1+n_2}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}} \end{align} これは、$\chi^2$分布の確率密度関数 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad x\rightarrow z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、$\chi^2$分布 \begin{align} Z \sim \chi^2 \left(n_1+n_2\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

$\boldsymbol{\chi}^\boldsymbol{2}$分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n_1}{2}\\ M_Y \left(\theta\right)= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n_2}{2} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Z \left(\theta\right)=M_X \left(\theta\right) \cdot M_Y \left(\theta\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n_1}{2} \cdot \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n_2}{2}\\ &= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n_1+n_2}{2} \end{align} これは、$\boldsymbol{\chi}^\boldsymbol{2}$分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n}{2} \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、$\boldsymbol{\chi}^\boldsymbol{2}$分布 \begin{align} Z \sim \chi^2 \left(n_1+n_2\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

$\chi^2$分布とガンマ分布の関係より、 \begin{gather} \chi^2 \left(n_1\right)=\mathrm{Ga} \left(\frac{n_1}{2},\frac{1}{2}\right)\\ \chi^2 \left(n_2\right)=\mathrm{Ga} \left(\frac{n_2}{2},\frac{1}{2}\right) \end{gather} ガンマ分布の再生性より、 \begin{align} \chi^2 \left(n_1\right)+\chi^2 \left(n_2\right)=\mathrm{Ga} \left(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2},\frac{1}{2}\right)=\chi^2 \left(n_1+n_2\right) \end{align} $\blacksquare$