多変数関数の極限と連続性

本稿では、多変数関数の極限と連続性を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

 

二変数関数

平面上の点集合 $D$ 内の点 $P(x,y)$ に実数 $z$ を対応させる関数 $f$ を $$\begin{array}{c}z=f(x,y)\end{array}$$ と書く。 このとき、$x,y$ を独立変数、$z$を 従属変数という。関数 $f(x,y)$ の $x=a,y=b$ での値を、 $$\begin{array}{c}f(a,b)\end{array}$$ と書く。

関数 $z=f(x,y)$ の値が定まるような点 $(x,y)$ の集合を定義域という。定義域に含まれる任意の点 $(x,y)$ に対し、空間内の点 $(x,y,z)$ の全体は一般に曲面をなす。

不等式 $a\le x\le b,c\le y\le d$ で記述される領域は、座標軸に平行な辺をもった長方形であり、長方形のすべての辺は領域に含まれている。このように、境界をすべていれた領域を閉領域 closed domain という。

いっぽう、不等式 $a<x<b,c<y<d$ は長方形の内部の点だけを記述している。このように、内部の点だけを含む領域を開領域 open domain という。

 

二変数関数の極限

$D$ に属する2点 $P(x,y),A(a,b)$ 間の距離 $$\begin{array}{c}\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}\end{array}$$ を考える。 点 $P$ が点 $A$ に近づくとき、すなわち $$\begin{array}{c}\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}\to 0\end{array}$$ のとき、 関数 $f(x,y)$ が、その近づき方によらず、限りなく1つの値 $\alpha$ に近づくならば、$P\to A$ のときの $f(x,y)$ の極限は $\alpha$ であるといい $$\begin{array}{c}\underset{P\to A}{lim}f\left(P\right)=\alpha \underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=\alpha \underset{\begin{array}{c}x\to a\\ y\to b\end{array}}{lim}f(x,y)=\alpha \end{array}$$ などと書く。

$$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{lim}\left\{\underset{y\to b}{lim}f(x,y)\right\}\underset{y\to b}{lim}\left\{\underset{x\to a}{lim}f(x,y)\right\}\end{array}$$ を累次極限という。 一般に、累次極限が存在しても $\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)$ は必ずしも存在しない。

     

二変数関数の連続性

関数 $z=f(x,y)$ が点 $A(a,b)$ において $$\begin{array}{c}\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=f(a,b)\end{array}$$ であるとき、$f(x,y)$ は点 $A(a,b)$ で連続であるという。

 

二変数関数の四則の連続性

 

二変数関数の最大値・最小値の定理

二変数関数の中間値の定理

 

二変数関数の合成関数の連続性

 

多変数の場合

一般に、点 $P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ に実数を対応させる関数 $$\begin{array}{c}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ を $n$ 変数関数という。

$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n),A(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ のとき、$P\to A$ とは、 $$\begin{array}{c}\sqrt{{(x_1-a_1)}^2+\cdots +{(x_n-a_n)}^2}\to 0\end{array}$$ の意味で、 このとき、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ の極限は $$\begin{array}{c}\underset{P\to A}{lim}f\left(P\right)=\alpha \underset{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\to (a_1,a_2,\cdots ,a_n)}{lim}f(x,y)=\alpha \end{array}$$ で表される。

 

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.156-162

関連記事

• 偏微分と全微分
• 多変数関数の極値