多変数関数の極限と連続性

本稿では、多変数関数の極限と連続性を紹介しています。

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二変数関数

平面上の点集合 $D$ 内の点 $P \left(x,y\right)$ に実数 $z$ を対応させる関数 $f$ を \begin{gather} z=f \left(x,y\right) \end{gather} と書く。 このとき、$x,y$ を独立変数、$z$を 従属変数という。関数 $f \left(x,y\right)$ の $x=a,y=b$ での値を、 \begin{gather} f \left(a,b\right) \end{gather} と書く。

関数 $z=f \left(x,y\right)$ の値が定まるような点 $ \left(x,y\right)$ の集合を定義域という。定義域に含まれる任意の点 $ \left(x,y\right)$ に対し、空間内の点 $ \left(x,y,z\right)$ の全体は一般に曲面をなす。

不等式 $a \le x \le b,c \le y \le d$ で記述される領域は、座標軸に平行な辺をもった長方形であり、長方形のすべての辺は領域に含まれている。このように、境界をすべていれた領域を閉領域 closed domain という。

いっぽう、不等式 $a \lt x \lt b,c \lt y \lt d$ は長方形の内部の点だけを記述している。このように、内部の点だけを含む領域を開領域 open domain という。

 

二変数関数の極限

$D$ に属する2点 $P \left(x,y\right),A \left(a,b\right)$ 間の距離 \begin{gather} \sqrt{ \left(x-a\right)^2+ \left(y-b\right)^2} \end{gather} を考える。 点 $P$ が点 $A$ に近づくとき、すなわち \begin{gather} \sqrt{ \left(x-a\right)^2+ \left(y-b\right)^2}\rightarrow0 \end{gather} のとき、 関数 $f \left(x,y\right)$ が、その近づき方によらず、限りなく1つの値 $\alpha$ に近づくならば、$P\rightarrow A$ のときの $f \left(x,y\right)$ の極限は $\alpha$ であるといい \begin{gather} \lim_{P\rightarrow A}{f \left(P\right)}=\alpha \quad \lim_{ \left(x,y\right)\rightarrow \left(a,b\right)}{f \left(x,y\right)}=\alpha \quad \lim_{\begin{matrix}x\rightarrow a\\y\rightarrow b\\\end{matrix}}{f \left(x,y\right)}=\alpha \end{gather} などと書く。

\begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{ \left\{\lim_{y\rightarrow b}{f \left(x,y\right)}\right\}} \quad \lim_{y\rightarrow b}{ \left\{\lim_{x\rightarrow a}{f \left(x,y\right)}\right\}} \end{gather} を累次極限という。 一般に、累次極限が存在しても $\lim_{ \left(x,y\right)\rightarrow \left(a,b\right)}{f \left(x,y\right)}$ は必ずしも存在しない。

     

二変数関数の連続性

関数 $z=f \left(x,y\right)$ が点 $A \left(a,b\right)$ において \begin{gather} \lim_{ \left(x,y\right)\rightarrow \left(a,b\right)}{f \left(x,y\right)}=f \left(a,b\right) \end{gather} であるとき、$f \left(x,y\right)$ は点 $A \left(a,b\right)$ で連続であるという。

 

二変数関数の四則の連続性

 

二変数関数の最大値・最小値の定理

二変数関数の中間値の定理

 

二変数関数の合成関数の連続性

 

多変数の場合

一般に、点 $P \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)$ に実数を対応させる関数 \begin{gather} f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right) \end{gather} を $n$ 変数関数という。

$P \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right),A \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)$ のとき、$P\rightarrow A$ とは、 \begin{gather} \sqrt{ \left(x_1-a_1\right)^2+ \cdots + \left(x_n-a_n\right)^2}\rightarrow0 \end{gather} の意味で、 このとき、$n$ 変数関数 $f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)$ の極限は \begin{gather} \lim_{P\rightarrow A}{f \left(P\right)}=\alpha \quad \lim_{ \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)\rightarrow \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)}{f \left(x,y\right)}=\alpha \end{gather} で表される。

 

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.156-162

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