関数の連続性

本稿では、関数の連続性を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

ある点における連続

関数 $f \left(x\right)$ の定義域に属する $x$ の1つの値を $a$ とし、関数 $f$ は a の十分近くにおいては定義されていると仮定する。すなわち、適当な正数 $r$ をとれば、区間 $ \left(a-r,a+r\right)$ が関数 $f$ の定義域に含まれているとする（ここでは、$a$ 自身においても $f$ が定義されていると仮定している）。

このとき、もし \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \end{gather} が成り立てば、関数 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において連続である Continuousという。 なお、より正確には、関数 $f \left(x\right)$ が $x=a$ において右側連続かつ左側連続 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow+a}{f \left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow-a}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \end{gather} であることを指す。

関数 $f \left(x\right),g \left(x\right)$ がともに $a$ の近くで定義されていて、ともに $x=a$ において連続であるならば、関数 \begin{gather} f \left(x\right)+g \left(x\right) \quad f \left(x\right)-g \left(x\right)\\ f \left(x\right) \cdot g \left(x\right) \quad \frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)} \end{gather} も $x=a$ において連続である。

厳密な定義

$S$ を $\boldsymbol{R}$ の部分集合とし、$f:S\rightarrow\boldsymbol{R}$ を $S$ で定義された関数とする。$a$ を $S$ の1つの集積点とする。もし、ある数 $\alpha$ が存在して、次のことが成り立つならば、$x=a$ において、$f \left(x\right)$ は連続であるという。

任意の正の数 $\varepsilon$ に対し、適当に正の数 $\delta$ をとれば、 \begin{gather} 0 \lt \left|x-a\right| \lt \delta \end{gather} を満たす $S$ の全ての数 $x$ に対して \begin{gather} \left|f \left(x\right)-f \left(a\right)\right| \lt \varepsilon \end{gather} が成り立つ。

不連続

関数 $f$ は $a$ の十分近くにおいて定義されているが、$a$ において連続でないときには、$f$ は $a$ において不連続である discontinuous という。このことは、 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{f \left(x\right)} \end{gather} が存在しない、 または、極限値が存在してもその値が $f \left(a\right)$ に等しくない \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{f \left(x\right)} \neq f \left(a\right) \end{gather} ということを意味する。

片側からの連続

関数 $f \left(x\right)$ の $x\rightarrow a$ のときの右側極限値が $f \left(a\right)$ と一致するとき、すなわち \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a+0}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \end{gather} が成り立つとき、関数 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において右側連続であるという。

同様に、関数 $f \left(x\right)$ の $x\rightarrow a$ のときの左側極限値が $f \left(a\right)$ と一致するとき、すなわち \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a-0}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \end{gather} が成り立つとき、関数 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において左側連続であるという。

区間における連続

$I$ をある区間とし、関数 $f$ が $I$ に属する任意の値において連続であるとき、$f$ は、区間 $I$ において連続である、または、区間 $I$ における連続関数であるという。ただし、区間 $I$ が端点を含む区間である場合には、$I$ における連続を次のように定義する。

たとえば、$I$ が閉区間 $I= \left[a,b\right]$ であるときには、$f$ が $I$ において連続であるというのは、$f$ が、$a \lt x \lt b$ である任意の $x$ において連続で、かつ、$a$ においては右側連続、$b$ においては左側連続、すなわち \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a+0}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \quad \lim_{x\rightarrow b-0}{f \left(x\right)}=f \left(b\right) \end{gather} が成り立つことである。

同様に、たとえば、$f$ が区間 $ \left[a\right., \left.\infty\right)$ で連続であるというのは、$f$ が、$a \lt x$ である任意の $x$ において連続で、かつ、$a$ において右側連続であることを意味する。

中間値の定理

最大値・最小値の定理

$f$ を区間 $I$ において定義された関数とする。もし、$I$ に属する1つの点 $x_0$ があって、$I$ に属するすべての $x$ に対して \begin{gather} f \left(x\right) \le f \left(x_0\right) \end{gather} が成り立つならば、 $x_0$ を $I$ における $f$ の最大点、$f \left(x_0\right)$ を $I$ における $f$ の最大値 maximum と呼ぶ。

同様に、もし、$I$ に属する1つの点 $x_0$ があって、$I$ に属するすべての $x$ に対して \begin{gather} f \left(x_0\right) \le f \left(x\right) \end{gather} が成り立つならば、 $x_0$ を $I$ における $f$ の最小点、$f \left(x_0\right)$ を $I$ における $f$ の最小値 minimum と呼ぶ。

与えられた区間において関数の最大値や最小値はいつも存在するとは限らない。しかし、閉区間で連続な関数については次の定理が成り立つ。この定理は解析学において非常に重要な定理である。

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.805-817
• 松坂 和夫 著. 数学読本 6. 新装版, 岩波書店, 2019, p.1314-1315
• 関数の連続性と一様連続性. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/788.
• 中間値の定理の応用と多変数関数への拡張. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/825.
• 最大値・最小値の定理. 高校数学の美しい物語. 2022-09-28. https://manabitimes.jp/math/2679.

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