ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題8.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題8.1」の自作解答例です。粗率と加重最小二乗和の関係に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題8.1.1：粗率と加重最小2乗和の同等性

2重同次ポアソンモデルの仮定より、 $$\begin{array}{r}E\left(d_j\right)=V\left(d_j\right)=\lambda t_j\end{array}$$ 各被験者の率の定義より、 $$\begin{array}{r}{r}_j=\frac{d_j}{t_j}\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{rl}E\left(r_j\right)& =E\left(\frac{d_j}{t_j}\right)\\ & =\frac{1}{t_j}E\left(d_j\right)\\ & =\frac{1}{t_j}\cdot \lambda t_j\\ & =\lambda \end{array}$$ 両辺の分散を取ると、 $$\begin{array}{rl}V\left(r_j\right)& =V\left(\frac{d_j}{t_j}\right)\\ & =\frac{1}{t_j^2}V\left(d_j\right)\\ & =\frac{\lambda t_j}{t_j^2}\\ & =\frac{\lambda }{t_j}\end{array}$$ 率の分散の最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}\left(r_j\right)=\frac{\hat{\lambda }}{t_j}\end{array}$$ 問題文の定義より、 $$\begin{array}{r}{\hat{\tau }}_j=\frac{1}{\hat{V}\left(r_j\right)}=\frac{t_j}{\hat{\lambda }}\end{array}$$ 同様に、加重最小2乗和の定義より、 $$\begin{array}{rl}\overline{r}& =\frac{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j{r}_j}{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^N\frac{t_j}{\hat{\lambda }}{r}_j}{\sum _{i=1}^N\frac{t_j}{\hat{\lambda }}}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^N{t}_j{r}_j}{\sum _{i=1}^N{t}_j}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^N{t}_j\frac{d_j}{t_j}}{\sum _{i=1}^N{t}_j}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^N{d}_j}{\sum _{i=1}^N{t}_j}\\ & =\frac{d_{\bullet }}{t_{\bullet }}\\ & =\hat{\lambda }\end{array}$$ $◼$

問題8.1.2：加重最小2乗和の最尤推定分散

まず、 $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j& =\sum _{i=1}^N\frac{t_j}{\hat{\lambda }}\\ & =\frac{1}{\hat{\lambda }}\sum _{i=1}^N{t}_j\\ & =\frac{t_{\bullet }}{\hat{\lambda }}\\ \frac{1}{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j}& =\frac{\hat{\lambda }}{t_{\bullet }}\\ & =\hat{V}\left(\hat{\lambda }\right)\end{array}$$ 加重最小2乗和の分散を取ると、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}\left(\overline{r}\right)& =V\left(\frac{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j{r}_j}{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j}\right)\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j}\right)}^{2}V\left(\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j{r}_j\right)\\ & =\frac{{\hat{\lambda }}^2}{t_{\bullet }^2}\cdot V\left(\sum _{i=1}^N\frac{t_j}{\hat{\lambda }}\cdot \frac{d_j}{t_j}\right)\\ & =\frac{{\hat{\lambda }}^2}{t_{\bullet }^2}\cdot V\left(\sum _{i=1}^N\frac{d_j}{\hat{\lambda }}\right)\\ & =\frac{{\hat{\lambda }}^2}{t_{\bullet }^2}\cdot \frac{1}{{\hat{\lambda }}^2}\sum _{i=1}^N\hat{V}\left(d_j\right)\\ & =\frac{1}{t_{\bullet }^2}\sum _{i=1}^N\hat{\lambda }{t}_j\\ & =\frac{\hat{\lambda }\cdot t_{\bullet }}{t_{\bullet }^2}\\ & =\frac{\hat{\lambda }}{t_{\bullet }}\\ & =\frac{1}{\sum _{i=1}^N{\hat{\tau }}_j}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.451
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.412-414

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