指数関数と対数関数

本稿では、指数関数と対数関数を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

累乗

任意の数 $a$ に対し、$a$ を $n$ 回かけたものを $a$ の $n$ 乗 n-th power of a と呼ぶ。一般に $a$ の $n$ 乗 $$\begin{array}{c}\left\{a_n\right\}=\{a,a^2,a^3,\cdots ,a^n,\cdots \}\end{array}$$ を総称して、$a$ の累乗 exponentiation、またはべき乗 と呼ぶ。 $a$ の累乗に対し、$n$ を 指数 exponent という。

累乗根

任意の実数 $a$ に対し、 $$\begin{array}{c}{x}^n=a\end{array}$$ を満たす数 $x$ を$a$ の $n$ 乗根 n-th root of a と呼び、 $n$ 乗根を総称して、$a$ の累乗根 power root、またはべき乗根 と呼ぶ。 一般に累乗根は、 $$\begin{array}{c}x=\sqrt[n]{a}\end{array}$$ と書く。

任意の正の実数 $0<a$ に対し、$m$ を任意の整数、$n$ を正の整数とするとき、 $$\begin{array}{c}{a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\end{array}$$ 特に、 $$\begin{array}{c}{a}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\end{array}$$ と定義する。

指数法則

指数関数

任意の実数 $x$ に対し、 $$\begin{array}{c}y=a^{x}a\ne 1\end{array}$$ という関数を $a$ を底とする指数関数 exponential function という。

対数

$0<a,a\ne 1$ とするとき、任意の正の実数 $M$ に対し、 $$\begin{array}{c}M=a^u\end{array}$$ を満たす実数 $u$ がただひとつ存在する。 この実数 $u$ を、$a$ を底とする $M$ の対数 logarithm といい、 $$\begin{array}{c}u={\log }_{a}M\end{array}$$ と書く。 またこのとき、$M$ を $a$ を底とする $u$ の真数 antilogarithm という。

対数関数

任意の正の実数 $x$ に対し、 $$\begin{array}{c}y={\log }_{a}x\end{array}$$ という関数を $a$ を底とする対数関数 logarithmic function という。

対数関数 $$\begin{array}{c}y={\log }_{a}x\end{array}$$ は指数関数 $$\begin{array}{c}y=a^{x}a\ne 1\end{array}$$ の逆関数である。

対数の基本性質

底の変換公式

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本. 新装版, 岩波書店, 2019, p.15-16
• 松坂 和夫 著. 数学読本 2. 新装版, 岩波書店, 2019, p.303-323
• 指数法則の直感的な意味と利用例. 高校数学の美しい物語. 2021-02-24. https://manabitimes.jp/math/1535.
• 対数の基本的な性質とその証明. 高校数学の美しい物語. 2022-05-26. https://manabitimes.jp/math/1336.
• 底の変換公式の証明と例題. 高校数学の美しい物語. 2022-05-26. https://manabitimes.jp/math/1223.

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