指数関数と対数関数

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【2022年12月2週】 【C000】数学 【C010】方程式と関数

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本稿では、指数関数と対数関数を紹介しています。

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累乗

任意の数 $a$ に対し、$a$ を $n$ 回かけたものを $a$ の $n$ 乗 n-th power of a と呼ぶ。一般に $a$ の $n$ 乗 \begin{gather} \left\{a_n\right\}= \left\{a,a^2,a^3, \cdots ,a^n, \cdots \right\} \end{gather} を総称して、$a$ の累乗 exponentiation、またはべき乗 と呼ぶ。 $a$ の累乗に対し、$n$ を 指数 exponent という。

累乗根

任意の実数 $a$ に対し、 \begin{gather} x^n=a \end{gather} を満たす数 $x$ を$a$ の $n$ 乗根 n-th root of a と呼び、 $n$ 乗根を総称して、$a$ の累乗根 power root、またはべき乗根 と呼ぶ。 一般に累乗根は、 \begin{gather} x=\sqrt[n]{a} \end{gather} と書く。

任意の正の実数 $0 \lt a$ に対し、$m$ を任意の整数、$n$ を正の整数とするとき、 \begin{gather} a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \end{gather} 特に、 \begin{gather} a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a} \end{gather} と定義する。

指数法則

【定理】
指数法則
Law of Exponents

任意の正の実数 $a$ に対し、$m,n$ を任意の実数として、 \begin{gather} a^m \cdot a^n=a^{m+n} \end{gather} \begin{gather} \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \end{gather} \begin{gather} \left(a^m\right)^n=a^{mn} \end{gather} \begin{gather} \left(ab\right)^n=a^n \cdot b^n \end{gather} \begin{gather} \left(a\right)^{-n}=\frac{1}{a^n} \end{gather} \begin{gather} \left(\frac{b}{a}\right)^n=\frac{b^n}{a^n} \end{gather} が成り立つ。

指数関数

任意の実数 $x$ に対し、 \begin{gather} y=a^x \quad a \neq 1 \end{gather} という関数を $a$ を底とする指数関数 exponential function という。

対数

$0 \lt a,a \neq 1$ とするとき、任意の正の実数 $M$ に対し、 \begin{gather} M=a^u \end{gather} を満たす実数 $u$ がただひとつ存在する。 この実数 $u$ を、$a$ を底とする $M$ の対数 logarithm といい、 \begin{gather} u=\log_a{M} \end{gather} と書く。 またこのとき、$M$ を $a$ を底とする $u$ の真数 antilogarithm という。

対数関数

任意の正の実数 $x$ に対し、 \begin{gather} y=\log_a{x} \end{gather} という関数を $a$ を底とする対数関数 logarithmic function という。

対数関数 \begin{gather} y=\log_a{x} \end{gather} は指数関数 \begin{gather} y=a^x \quad a \neq 1 \end{gather} の逆関数である。

対数の基本性質

【定理】
対数の基本性質
Basic Properties of Logarithm

$0 \lt a,a \neq 1$ とするとき、任意の正の実数 $0 \lt M,0 \lt N$ に対し、 \begin{gather} \log_a{1}=0 \end{gather} \begin{gather} \log_a{a}=1 \end{gather} \begin{gather} \log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} \end{gather} \begin{gather} \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N} \end{gather} \begin{gather} \log_a{M^p}=p\log_a{M} \end{gather} が成り立つ。

底の変換公式

【定理】
底の変換公式
Change of Base Formula

任意の正の実数 $a,b,M$ に対し、$a \neq 1,b \neq 1$ のとき、 \begin{gather} \log_a{b} \cdot \log_b{M}=\log_a{M} \end{gather} \begin{gather} \log_b{M}=\frac{\log_a{M}}{\log_a{b}} \end{gather} \begin{gather} \log_b{a}=\frac{1}{\log_a{b}} \end{gather} が成り立つ。

参考文献

  • 松坂 和夫 著. 数学読本. 新装版, 岩波書店, 2019, p.15-16
  • 松坂 和夫 著. 数学読本 2. 新装版, 岩波書店, 2019, p.303-323
  • 指数法則の直感的な意味と利用例. 高校数学の美しい物語. 2021-02-24. https://manabitimes.jp/math/1535.
  • 対数の基本的な性質とその証明. 高校数学の美しい物語. 2022-05-26. https://manabitimes.jp/math/1336.
  • 底の変換公式の証明と例題. 高校数学の美しい物語. 2022-05-26. https://manabitimes.jp/math/1223.

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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