生存時間分布のパラメトリックモデル④：対数ロジスティック分布モデル

累積ハザード関数 $\mathrm{\Lambda }\left(t\right)={\int }_0^t\lambda \left(u\right)du$ は、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }\left(t\right)& ={\int }_0^t\frac{\mu \gamma u^{\gamma -1}}{1+\mu u^{\gamma }}du\\ & ={[\log (1+\mu u^{\gamma })]}_0^t\\ & =\log (1+\mu t^{\gamma })\end{array}$$ 累積ハザード関数と生存関数の関係 $S\left(t\right)=\exp \{-\mathrm{\Lambda }\left(t\right)\}$ より、 $$\begin{array}{rl}S\left(t\right)& =\exp \{-\log (1+\mu t^{\gamma })\}\\ & =\frac{1}{1+\mu t^{\gamma }}\end{array}$$ イベント累積分布関数の定義 $F\left(t\right)=1-S\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}F\left(t\right)& =1-\frac{1}{1+\mu t^{\gamma }}\\ & =\frac{\mu t^{\gamma }}{1+\mu t^{\gamma }}\end{array}$$ イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 $$\begin{array}{rl}f\left(t\right)& =\lambda \left(t\right)\cdot S\left(t\right)\\ & =\frac{\mu {\gamma t}^{\gamma -1}}{1+\mu t^{\gamma }}\cdot \frac{1}{1+\mu t^{\gamma }}\\ & =\frac{\mu {\gamma t}^{\gamma -1}}{{(1+\mu t^{\gamma })}^2}\end{array}$$ $◼$

オッズの定義より、各群の時点 $t$ におけるイベント発生オッズは、$\pi =F_i\left(t\right),i=1,2$ として、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Od}}_1& =\frac{F_1\left(t\right)}{1-F_1\left(t\right)}\\ & =\frac{{\mu }_1{t}^{\gamma }}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\cdot (1+{\mu }_1{t}^{\gamma })\\ & ={\mu }_1{t}^{\gamma }\\ {\mathrm{Od}}_2& =\frac{F_2\left(t\right)}{1-F_2\left(t\right)}\\ & =\frac{{\mu }_2{t}^{\gamma }}{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}\cdot (1+{\mu }_2{t}^{\gamma })\\ & ={\mu }_2{t}^{\gamma }\end{array}$$ したがって、オッズ比の定義より、イベント発生オッズ比は、 $$\begin{array}{r}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{D}}=\frac{{\mu }_1{t}^{\gamma }}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\end{array}$$ 同様に、生存オッズ比は、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Od}}_1& =\frac{S_1\left(t\right)}{1-S_1\left(t\right)}\\ & =\frac{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\\ & =\frac{1}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}\\ {\mathrm{Od}}_2& =\frac{S_2\left(t\right)}{1-S_2\left(t\right)}\\ & =\frac{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1}{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}\\ & =\frac{1}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{S}}=\frac{\frac{1}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{\frac{1}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}}=\frac{{\mu }_2}{{\mu }_1}\end{array}$$ $◼$

ハザード関数、イベント密度関数、生存関数の式に、$\mu =\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}\lambda \left(t\right|\mathit{x})=\frac{\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })\cdot {\gamma t}^{\gamma -1}}{1+\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })\cdot t^{\gamma }}\\ f\left(t\right|\mathit{x})=\frac{\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })\cdot {\gamma t}^{\gamma -1}}{{\{1+\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })\cdot t^{\gamma }\}}^2}\\ S\left(t\right|\mathit{x})=\frac{1}{1+\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })\cdot t^{\gamma }}\end{array}$$ $◼$

オッズ比の式に、$\mu =\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{D}}=\frac{e^{\alpha }\cdot e^{x_1{\beta }_1}\cdot \cdots \cdot e^{(x_i+1){\beta }_i}\cdot \cdots \cdot e^{x_k{\beta }_k}}{e^{\alpha }\cdot e^{x_1{\beta }_1}\cdot \cdots \cdot e^{x_i{\beta }_i}\cdot \cdots \cdot e^{x_k{\beta }_k}}=e^{{\beta }_i}\\ {\mathrm{OR}}_{\mathrm{S}}=\frac{e^{\alpha }\cdot e^{x_1{\beta }_1}\cdot \cdots \cdot e^{x_i{\beta }_i}\cdot \cdots \cdot e^{x_k{\beta }_k}}{e^{\alpha }\cdot e^{x_1{\beta }_1}\cdot \cdots \cdot e^{(x_i+1){\beta }_i}\cdot \cdots \cdot e^{x_k{\beta }_k}}=e^{-{\beta }_i}\end{array}$$ $◼$

対数変換の公式 $Y=\log X\iff g\left(y\right)=f\left(e^y\right)\cdot e^y$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(y\right)& =\frac{\mu \gamma e^{y(\gamma -1)}}{{(1+\mu e^{y\gamma })}^2}\cdot e^y\\ & =\frac{\gamma \mu e^{y\gamma }}{{(1+\mu e^{y\gamma })}^2}\end{array}$$ 同様に、ハザード関数は、 $$\begin{array}{rl}\lambda \left(y\right)& =\frac{\mu \gamma e^{y(\gamma -1)}}{1+\mu e^{y\gamma }}\cdot e^y\\ & =\frac{\gamma \mu e^{y\gamma }}{1+\mu e^{y\gamma }}\end{array}$$ イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 $$\begin{array}{rl}S\left(y\right)& =\frac{f\left(y\right)}{\lambda \left(y\right)}\\ & =\frac{\gamma \mu e^{y\gamma }}{{(1+\mu e^{y\gamma })}^2}\cdot \frac{1+\mu e^{y\gamma }}{\gamma \mu e^{y\gamma }}\\ & =\frac{1}{1+\mu e^{y\gamma }}\end{array}$$ $◼$

イベント発生の確率密度関数の式に、$\mu =\exp (\alpha +{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta })$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}f\left(t\right|\mathit{x})& =\frac{\exp (-\frac{\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }}}{\sigma })\cdot {\gamma t}^{\gamma -1}}{{\{1+\exp (-\frac{\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }}}{\sigma })\cdot t^{\gamma }\}}^2}\\ & =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp (-\frac{\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }}}{\sigma })\cdot \exp \{(\frac{1}{\sigma }-1)\log t\}}{{[1+\exp (-\frac{\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }}}{\sigma })\cdot \exp \{\frac{1}{\sigma }\log t\}]}^2}\\ & =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{\log t-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{{[1+\exp \left\{\frac{\log t-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}]}^2}\cdot \exp (-\log t)\end{array}$$ 対数変換の公式 $Y=\log X\iff g\left(y\right)=f\left(e^y\right)\cdot e^y$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(y\right|\mathit{x})& =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{{[1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}]}^2}\cdot \exp (-y)\cdot \exp \left(y\right)\\ & =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{{[1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}]}^2}\end{array}$$ 同様に、ハザード関数は、 $$\begin{array}{rl}\lambda \left(y\right|\mathit{x})& =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}\cdot \exp (-y)\cdot \exp \left(y\right)\\ & =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}\end{array}$$ $◼$

イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 $$\begin{array}{rl}S\left(y\right|\mathit{x})& =\frac{f\left(y\right|\mathit{x})}{\lambda \left(y\right|\mathit{x})}\\ & =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{{[1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}]}^2}\cdot \sigma \cdot \frac{1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}{\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}\\ & =\frac{1}{1+\exp \left\{\frac{y-(\tilde{\alpha }+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\tilde{\mathit{\beta }})}{\sigma }\right\}}\end{array}$$ ＊このことから、比例死亡オッズモデルないしは比例生存オッズモデルのパラメータは、加速死亡時間モデルから得ることができる。 $◼$

線形変換の公式 $Y=aX+b\iff g\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot \frac{1}{a}$ より、$\epsilon$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}f\left(\epsilon \right)& =\frac{1}{\sigma }\cdot \frac{\exp \left(\epsilon \right)}{{[1+\exp \left(\epsilon \right)]}^2}\cdot \sigma \\ & =\frac{e^{\epsilon }}{{(1+e^{\epsilon })}^2}\end{array}$$ ＊このことから、対数線形モデルの誤差はロジスティック分布に従い、ハザード関数は対数ロジスティック密度に一致する。 $◼$