本稿では、生存時間分布のパラメトリックモデルのひとつである対数ロジスティック分布モデルについて重要事項をまとめています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
生存時間分布の対数ロジスティック分布モデル
ハザード関数が、率パラメータ $\mu$、形状パラメータ $\gamma$、時間 $t$ の関数 \begin{gather} \lambda \left(t\right)=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mu t^\gamma}\\ 0 \lt \mu \quad 0 \lt \gamma \end{gather} となるモデルを対数ロジスティック分布モデル Log-Logistic Distribution Models と呼ぶ。 累積ハザード関数、生存関数、イベント分布関数、イベント密度関数は、 \begin{gather} \Lambda \left(t\right)=\log{ \left(1+\mu t^\gamma\right)}\\ S \left(t\right)=\frac{1}{1+\mu t^\gamma}\\ F \left(t\right)=\frac{\mu t^\gamma}{1+\mu t^\gamma}\\ f \left(t\right)=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left(1+\mu t^\gamma\right)^2} \end{gather} で与えられる。 なお、率パラメータを共変量ベクトルの関数 \begin{align} \mu=\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \end{align} とすることもある。
証明：生存関数①
累積ハザード関数 $\Lambda \left(t\right)=\int_{0}^{t}\lambda \left(u\right)du$ は、 \begin{align} \Lambda \left(t\right)&=\int_{0}^{t}{\frac{\mu\gamma u^{\gamma-1}}{1+\mu u^\gamma}du}\\ &= \left[\log{ \left(1+\mu u^\gamma\right)}\right]_0^t\\ &=\log{ \left(1+\mu t^\gamma\right)} \end{align} 累積ハザード関数と生存関数の関係 $S \left(t\right)=\mathrm{exp} \left\{-\Lambda \left(t\right)\right\}$ より、 \begin{align} S \left(t\right)&=\mathrm{exp} \left\{-\log{ \left(1+\mu t^\gamma\right)}\right\}\\ &=\frac{1}{1+\mu t^\gamma} \end{align} イベント累積分布関数の定義 $F \left(t\right)=1-S \left(t\right)$ より、 \begin{align} F \left(t\right)&=1-\frac{1}{1+\mu t^\gamma}\\ &=\frac{\mu t^\gamma}{1+\mu t^\gamma} \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\right)&=\lambda \left(t\right) \cdot S \left(t\right)\\ &=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mu t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu t^\gamma}\\ &=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left(1+\mu t^\gamma\right)^2} \end{align} $\blacksquare$
【定理】死亡・生存オッズ比
【定理】
死亡・生存オッズ比
Odds Ratios
同じ形状パラメータ $\gamma$ をもち、異なる率パラメータ $\mu_1 \neq \mu_2$ をもつ2群の生存分布は、比例死亡オッズと比例生存オッズをもち、それらは、以下で与えられる。 \begin{gather} \mathrm{{\rm OR}_D}=\frac{\mu_1}{\mu_2}\\ \mathrm{{\rm OR}_S}=\frac{\mu_2}{\mu_1} \end{gather}
証明：死亡・生存オッズ比
オッズの定義より、各群の時点 $t$ におけるイベント発生オッズは、$\pi=F_i \left(t\right),i=1,2$ として、 \begin{align} \mathrm{{\rm Od}_1}&=\frac{F_1 \left(t\right)}{1-F_1 \left(t\right)}\\ &=\frac{\mu_1t^\gamma}{1+\mu_1t^\gamma} \cdot \left(1+\mu_1t^\gamma\right)\\ &=\mu_1t^\gamma\\ \mathrm{{\rm Od}_2}&=\frac{F_2 \left(t\right)}{1-F_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{\mu_2t^\gamma}{1+\mu_2t^\gamma} \cdot \left(1+\mu_2t^\gamma\right)\\ &=\mu_2t^\gamma \end{align} したがって、オッズ比の定義より、イベント発生オッズ比は、 \begin{align} \mathrm{{\rm OR}_D}=\frac{\mu_1t^\gamma}{\mu_2t^\gamma}=\frac{\mu_1}{\mu_2} \end{align} 同様に、生存オッズ比は、 \begin{align} \mathrm{{\rm Od}_1}&=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)}\\ &=\frac{1+\mu_1t^\gamma}{\mu_1t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu_1t^\gamma}\\ &=\frac{1}{\mu_1t^\gamma}\\ \mathrm{{\rm Od}_2}&=\frac{S_2 \left(t\right)}{1-S_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{1+\mu_2t^\gamma}{\mu_2t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu_2t^\gamma}\\ &=\frac{1}{\mu_2t^\gamma} \end{align} \begin{align} \mathrm{{\rm OR}_S}=\frac{\frac{1}{\mu_1t^\gamma}}{\frac{1}{\mu_2t^\gamma}}=\frac{\mu_2}{\mu_1} \end{align} $\blacksquare$
【定義】対数ロジスティック・モデル：率パラメータが共変量の関数であるとき
【定義】
対数ロジスティック・モデル：率パラメータが共変量の関数であるとき
Log-Logistic Regression Models: When Scale Parameter Depends on Covariates
対数ロジスティック比例オッズモデルを共変量ベクトル $\boldsymbol{x}$ の関数として一般化し、 \begin{align} \mu=\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \end{align} であるとする。 このとき、共変量ベクトル $\boldsymbol{x}$ をもつ被験者のハザード関数、イベント密度関数、生存関数は、 \begin{gather} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma}\\ f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left\{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma\right\}^2}\\ S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma} \end{gather}
証明：生存関数②
ハザード関数、イベント密度関数、生存関数の式に、$\mu=\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{gather} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma}\\ f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left\{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma\right\}^2}\\ S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma} \end{gather} $\blacksquare$
【命題】偏回帰係数とオッズ比の関係
【命題】
偏回帰係数とオッズ比の関係
Relationship between Partial Regression Coefficients and Odds Ratios
係数 $e^{\beta_i}$ は、$i$ 番目の共変量 $x_i$ の1単位増加に対する死亡オッズ比と等しく、また、$e^{-\beta_i}$ は生存オッズ比と等しい。
証明：偏回帰係数とオッズ比の関係
オッズ比の式に、$\mu=\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{gather} \mathrm{{\rm OR}_D}=\frac{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{ \left(x_i+1\right)\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{x_i\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}=e^{\beta_i}\\ \mathrm{{\rm OR}_S}=\frac{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{x_i\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{ \left(x_i+1\right)\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}=e^{-\beta_i} \end{gather} $\blacksquare$
【定理】対数時間のイベント密度関数・生存関数
【定理】
対数時間のイベント密度関数・生存関数
Event density function and Survival Function of Log-time
$Y=\log{T}$ と変数変換した後のハザード関数、イベント密度関数、生存関数は、 \begin{gather} \lambda \left(y\right)=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{1+\mu e^{y\gamma}}\\ f \left(y\right)=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2}\\ S \left(y\right)=\frac{1}{1+\mu e^{y\gamma}} \end{gather}
証明：対数時間のイベント密度関数・生存関数
対数変換の公式 $Y=\log{X}\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、 \begin{align} f \left(y\right)&=\frac{\mu\gamma e^{y \left(\gamma-1\right)}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \cdot e^y\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \end{align} 同様に、ハザード関数は、 \begin{align} \lambda \left(y\right)&=\frac{\mu\gamma e^{y \left(\gamma-1\right)}}{1+\mu e^{y\gamma}} \cdot e^y\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{1+\mu e^{y\gamma}} \end{align} イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} S \left(y\right)&=\frac{f \left(y\right)}{\lambda \left(y\right)}\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \cdot \frac{1+\mu e^{y\gamma}}{\gamma\mu e^{y\gamma}}\\ &=\frac{1}{1+\mu e^{y\gamma}} \end{align} $\blacksquare$
【定理】対数時間の共変量条件付き分布
【定理】
対数時間の共変量条件付き分布
Conditional Distributions of Log-time
比例オッズモデルパラメータを \begin{align} \mu=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \quad \gamma=\frac{1}{\sigma} \end{align} とするとき、 共変量ベクトル $\boldsymbol{x}$ をもつ被験者のハザード関数、イベント密度関数、生存関数は、 \begin{gather} \lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}\\ f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2}\\ S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \end{gather} また、変数変換した確率変数 \begin{align} \varepsilon=\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \end{align} の確率密度関数は、 以下のロジスティック分布となる。 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)=\frac{e^\varepsilon}{ \left(1+e^\varepsilon\right)^2} \end{align}
証明：条件付きイベント密度関数
イベント発生の確率密度関数の式に、$\mu=\mathrm{exp} \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left\{1+\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t^\gamma\right\}^2}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{ \left(\frac{1}{\sigma}-1\right)\log{t}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{\frac{1}{\sigma}\log{t}\right\}\right]^2}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \mathrm{exp} \left(-\log{t}\right) \end{align} 対数変換の公式 $Y=\log{X}\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \mathrm{exp} \left(-y\right) \cdot \mathrm{exp} \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \end{align} 同様に、ハザード関数は、 \begin{align} \lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \cdot \mathrm{exp} \left(-y\right) \cdot \mathrm{exp} \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \end{align} $\blacksquare$
証明：条件付き生存関数
イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)}{\lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \sigma \cdot \frac{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}\\ &=\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \end{align} ＊このことから、比例死亡オッズモデルないしは比例生存オッズモデルのパラメータは、加速死亡時間モデルから得ることができる。 $\blacksquare$
証明：残差の確率密度関数
線形変換の公式 $Y=aX+b\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{a}$ より、$\varepsilon$ の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)}{ \left[1+\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)\right]^2} \cdot \sigma\\ &=\frac{e^\varepsilon}{ \left(1+e^\varepsilon\right)^2} \end{align} ＊このことから、対数線形モデルの誤差はロジスティック分布に従い、ハザード関数は対数ロジスティック密度に一致する。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.560-562
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