ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題9.10 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.10」の自作解答例です。比例オッズモデルに対する重み付けマンテル・ヘンツェル検定に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題9.10.1：比例オッズ性

$\lambda (t,\mathit{x})={\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }$ とすると、 $$\begin{array}{rl}1-S\left(t\right|\mathit{x})& =1-\frac{1}{1+e^{\lambda (t,\mathit{x})}}\\ & =\frac{e^{\lambda (t,\mathit{x})}}{1+e^{\lambda (t,\mathit{x})}}\end{array}$$ このとき、生存オッズは、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{O}}_S& =\frac{S\left(t\right|\mathit{x})}{1-S\left(t\right|\mathit{x})}\\ & =\frac{1}{1+e^{\lambda (t,\mathit{x})}}\cdot \frac{1+e^{\lambda (t,\mathit{x})}}{e^{\lambda (t,\mathit{x})}}\\ & =e^{-\lambda (t,\mathit{x})}\end{array}$$ 共変量の値 ${\mathit{x}}_{\mathbf{1}},{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}$ をもった2名の被験者に対する生存オッズ比は、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_S& =\frac{{\mathrm{O}}_{S1}}{{\mathrm{O}}_{S2}}\\ & =\frac{e^{-\lambda (t,{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}}{e^{-\lambda (t,{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}}\\ & =\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)}\cdot e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{e^{{\alpha }_0\left(t\right)}\cdot e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\\ & =\frac{e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\end{array}$$ $e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }},e^{{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}$ はともに定数なので、 $$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_S=c\end{array}$$ すなわち、生存オッズは、時聞経過を通じて比例している。 $◼$

問題9.10.2：イベント時間の分布関数

$$\begin{array}{c}F\left(t\right|\mathit{x})=1-S\left(t\right|\mathit{x})=\frac{e^{\lambda (t,\mathit{x})}}{1+e^{\lambda (t,\mathit{x})}}\end{array}$$ これは、 $$\begin{array}{c}x={\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }\end{array}$$ としたロジスティック関数である。 $◼$

問題9.10.3：ハザード比

累積ハザード関数と生存関数の関係 $\mathrm{\Lambda }\left(t\right)=-\log S\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{c}\mathrm{\Lambda }\left(t\right)=\log \{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}\}\end{array}$$ 累積ハザード関数とハザード関数の関係 $\lambda \left(t\right)=\frac{d}{dt}\mathrm{\Lambda }\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{c}\lambda \left(t\right)=\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}\cdot {\alpha }_0\left(t\right)}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\end{array}$$ よって、共変量の値 ${\mathit{x}}_{\mathbf{1}},{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}$ をもった2名の被験者に対するハザード比は、 $$\begin{array}{rl}\frac{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}& =\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}\cdot {\alpha }_0\left(t\right)}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\cdot \frac{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}\cdot {\alpha }_0\left(t\right)}\\ & =\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\cdot \frac{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\end{array}$$ いっぽう、イベントの累積分布関数の比は、 $$\begin{array}{r}\frac{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}=\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\cdot \frac{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathit{T}}\mathit{\beta }}}\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{c}\frac{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}=\frac{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}\end{array}$$ $◼$

問題9.10.4：帰無仮説の下での対数ハザード比

帰無仮説の下で、 $$\begin{array}{c}H\left({\beta }_0\right)=\log \frac{1}{1}=0\end{array}$$ 帰無値 ${\beta }_0$ の周りでテイラー展開 $f\left(x\right)=f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }\left(a\right)}{2!}{(x-a)}^2+\cdots$ すると、 $$\begin{array}{rl}H\left(\beta \right)& \cong H\left({\beta }_0\right)+H^{\prime }\left({\beta }_0\right)(\beta -{\beta }_0)\\ & \cong H^{\prime }\left({\beta }_0\right)(\beta -{\beta }_0)\end{array}$$ $◼$

問題9.10.5：帰無仮説の下での対数ハザード比

いっぽう、$\frac{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{\lambda \left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}=\frac{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}{F\left(t\right|{\mathit{x}}_{\mathbf{1}})}$ より、 $$\begin{array}{rl}H\left(\beta \right)& =\log \frac{F\left(t\right|x=1)}{F\left(t\right|x=0)}\\ & =\log F\left(t\right|x=1)-\log F\left(t\right|x=0)\\ & =\log \left\{\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }}\right\}-\log \left\{\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)}}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)}}\right\}\\ & ={\alpha }_0\left(t\right)+\beta -\log \{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }\}-{\alpha }_0\left(t\right)+\log \{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)}\}\\ & =\beta -\log \{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }\}+\log \{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)}\}\end{array}$$ この関数の1階微分 $H^{\prime }\left(\beta \right)=\frac{d}{d\beta }H\left(\beta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{rl}{H}^{\prime }\left(\beta \right)& =1-\frac{e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }}{1+e^{{\alpha }_0\left(t\right)+\beta }}\\ & =1-F\left(t\right|x=1)\end{array}$$ ここに、帰無仮説における値 $\beta ={\beta }_0$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}{H}^{\prime }\left({\beta }_0\right)=1-F_0\left(t\right)\end{array}$$ したがって、テイラー展開の結果と合わせて考えると、 $$\begin{array}{r}H\left(\beta \right)=\log \frac{\lambda \left(t\right|x=1)}{\lambda \left(t\right|x=0)}=(\beta -{\beta }_0)\{1-F_0\left(t\right)\}=g\left[F_0\left(t\right)\right]\end{array}$$ $◼$

問題9.10.6：Peto-Peto-Prenticeウィルコクソン検定

得られた結果を任意の時点 $t$ における重みとみなし、 $$\begin{array}{c}w\left(t\right)=g\left[\hat{F}\left(t\right)\right]=1-\hat{F}\left(t\right)=\hat{S}\left(t\right)\end{array}$$ として、 マンテル・ヘンツェル検定統計量の公式 $$\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{WMH}}^2=\frac{{\left[\sum _{j=1}^{J}w\left(t\right)\{a_j-E\left(a_j\right|H_0)\}\right]}^2}{\sum _{j=1}^J{\left[w\left(t\right)\right]}^2{V}_e\left(a_j\right|H_0)}\end{array}$$ に代入すると、 Peto-Peto-Prenticeの一般化ウィルコクソン検定の検定統計量が得られる。 $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.566-567

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