本稿では、数列の収束・発散を紹介しています。
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収束する数列とその極限
一般に、無限数列 $ \left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなっていくとき、第 $n$ 項 $a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づいていくならば、数列 $ \left\{a_n\right\}$ は $\alpha$ に収束する converge といい、$\alpha$ を数列 $ \left\{a_n\right\}$ の極限値または極限 limit と呼ぶ。
このことを記号で \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha \end{gather} または $n\rightarrow\infty \quad $のとき$ \quad a_n\rightarrow\alpha$ と表す。 なお、誤解のおそれがないときには、$n\rightarrow\infty$ のときを略して単に $a_n\rightarrow\alpha$ とも書く。
これをいいかえると、$n$ が限りなく大きくなるとき、数直線上で点 $a_n$ と点 $\alpha$ との距離 \begin{gather} \left|a_n-\alpha\right| \end{gather} がいくらでも小さくなるということを意味している。 すなわち、$a_n\rightarrow\alpha$ であることは \begin{gather} \left|a_n-\alpha\right|\rightarrow0 \end{gather} であることと同じである。 このことにもとづいて、数列の収束の定義を厳密なかたちで書くと、次のようになる。
厳密な定義
数列 $ \left\{a_n\right\}$ とある数 $\alpha$ に対し、次のことが成り立つとき、数列 $ \left\{a_n\right\}$ は $\alpha$ に収束するという。
任意の正の数 $\varepsilon$ に対し、適当に自然数 $N$ を取れば、$N \le n$ であるすべての自然数 $n$ に対し、 \begin{gather} \left|a_n-\alpha\right| \lt \varepsilon \end{gather} が成り立つ。
発散する数列・振動する数列
収束しない数列はすべて発散する diverge といわれる。一般に、数列 $ \left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が限りなく大きくなるとき、数列 $ \left\{a_n\right\}$ は正の無限大に発散するといい、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty \end{gather} または \begin{gather} a_n\rightarrow+\infty \end{gather} と表す。
同様に、一般に、数列 $ \left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、数列 $ \left\{a_n\right\}$ は負の無限大に発散するといい、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=-\infty \end{gather} または \begin{gather} a_n\rightarrow-\infty \end{gather} と表す。
数列 $ \left\{a_n\right\}$ が収束もせず、正の無限大にも負の無限大にも発散しないとき、その数列は、振動するといわれる。
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.637-643
- 松坂 和夫 著. 数学読本 6. 新装版, 岩波書店, 2019, p.1300-1301
- 数列の発散，収束，振動の意味と具体例. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1040.
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