数列の収束・発散

本稿では、数列の収束・発散を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

収束する数列とその極限

一般に、無限数列 $\left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなっていくとき、第 $n$ 項 $a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づいていくならば、数列 $\left\{a_n\right\}$ は $\alpha$ に収束する converge といい、$\alpha$ を数列 $\left\{a_n\right\}$ の極限値または極限 limit と呼ぶ。

このことを記号で $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha \end{array}$$ または $n\to \mathrm{\infty }$のとき$a_n\to \alpha$ と表す。 なお、誤解のおそれがないときには、$n\to \mathrm{\infty }$ のときを略して単に $a_n\to \alpha$ とも書く。

これをいいかえると、$n$ が限りなく大きくなるとき、数直線上で点 $a_n$ と点 $\alpha$ との距離 $$\begin{array}{c}|a_n-\alpha |\end{array}$$ がいくらでも小さくなるということを意味している。 すなわち、$a_n\to \alpha$ であることは $$\begin{array}{c}|a_n-\alpha |\to 0\end{array}$$ であることと同じである。 このことにもとづいて、数列の収束の定義を厳密なかたちで書くと、次のようになる。

厳密な定義

数列 $\left\{a_n\right\}$ とある数 $\alpha$ に対し、次のことが成り立つとき、数列 $\left\{a_n\right\}$ は $\alpha$ に収束するという。

任意の正の数 $\epsilon$ に対し、適当に自然数 $N$ を取れば、$N\le n$ であるすべての自然数 $n$ に対し、 $$\begin{array}{c}|a_n-\alpha |<\epsilon \end{array}$$ が成り立つ。

発散する数列・振動する数列

収束しない数列はすべて発散する diverge といわれる。一般に、数列 $\left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が限りなく大きくなるとき、数列 $\left\{a_n\right\}$ は正の無限大に発散するといい、 $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }\end{array}$$ または $$\begin{array}{c}{a}_n\to +\mathrm{\infty }\end{array}$$ と表す。

同様に、一般に、数列 $\left\{a_n\right\}$ において、$n$ が限りなく大きくなるにつれて $a_n$ が負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、数列 $\left\{a_n\right\}$ は負の無限大に発散するといい、 $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }\end{array}$$ または $$\begin{array}{c}{a}_n\to -\mathrm{\infty }\end{array}$$ と表す。

数列 $\left\{a_n\right\}$ が収束もせず、正の無限大にも負の無限大にも発散しないとき、その数列は、振動するといわれる。

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.637-643
• 松坂 和夫 著. 数学読本 6. 新装版, 岩波書店, 2019, p.1300-1301
• 数列の発散，収束，振動の意味と具体例. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1040.

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