算術平均、幾何平均、調和平均の関係

［1］算術平均と幾何平均の関係
題意が成り立つことを任意の正の整数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。

［1-a］$n=1$ のとき \begin{gather} X_1=X_1 \end{gather} なので、与式は成立する。

［1-b］$n=k$ のときに与式が成り立つと仮定したとき、すなわち、 \begin{gather} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \geq \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} \end{gather} としたときに、$n=k+1$ のときについて考える。

$X_1,X_2, \cdots ,X_n$ の対称性により、$X_1 \le X_2 \le \cdots \le X_{k+1}$ としても一般性を失わない。ここで、 \begin{gather} f \left(x\right)= \left(\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k+x}{k+1}\right)^{k+1}-X_1 \cdot X_2 \cdots X_kx \end{gather} とおき、$x$ で微分すると、 \begin{align} f^\prime \left(x\right)&= \left(k+1\right) \left(\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k+x}{k+1}\right)^k\frac{1}{k+1}-X_1 \cdot X_2 \cdots X_k\\ &= \left(\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k+x}{k+1}\right)^k-X_1 \cdot X_2 \cdots X_k \end{align} さらに微分すると、 \begin{align} f^{\prime\prime} \left(x\right)=\frac{k}{k+1} \left(\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k+x}{k+1}\right)^{k-1} \end{align} この式は、$1 \le k=1$ のとき、$0 \le x$ ならば、 \begin{gather} 0 \lt X_1+X_2+ \cdots +X_k+x \end{gather} なので、 \begin{gather} 0 \lt f^{\prime\prime} \left(x\right) \end{gather} となる。 よって、$f^\prime \left(x\right)$ は、区間 \begin{gather} 0 \le x \end{gather} において単調増加である。

また、$Y_k=\frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k}{k}$ とすると、 \begin{gather} \frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k+Y_k}{k+1}=\frac{kY_k+Y_k}{k+1}=Y_k \end{gather} これと、帰納法の仮定 $Y_k \geq \sqrt[k]{X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_k}$ から、 \begin{gather} f^\prime \left(Y_k\right)=Y_k^k-X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_k \geq 0 \end{gather} $0 \lt Y_k$ であり、区間 $0 \le x$ において $f^\prime \left(x\right)$ は単調増加であるから、区間 \begin{gather} Y_k \le x \end{gather} において \begin{gather} 0 \le f^\prime \left(x\right) \end{gather} が成り立つ。 また、 \begin{gather} f \left(Y_k\right)=Y_k^{k+1}-X_1 \cdot X_2 \cdots X_k \cdot Y_k=f^\prime \left(Y_k\right) \cdot Y_k \geq 0 \end{gather} したがって、$Y_k \le x$ となるすべての実数 $x$ について、 \begin{gather} 0 \le f \left(x\right) \end{gather} が成り立つ。 ここで、冒頭の仮定 $X_1 \le X_2 \le \cdots \le X_{k+1}$ より、 \begin{gather} X_{k+1}=\frac{k}{k}X_{k+1} \geq \frac{X_1+X_2+ \cdots +X_k}{k}=Y_k \end{gather} したがって、 \begin{gather} 0 \le f \left(X_{k+1}\right) \end{gather} が成り立つ。 $f \left(X_{k+1}\right)=0$ が成り立つとすると、区間 $Y_k \lt x$ において、 \begin{gather} 0 \lt f^\prime \left(x\right) \quad 0 \lt f \left(x\right) \end{gather} だから、 \begin{gather} X_{k+1}=Y_k \quad f \left(Y_k\right)=0 \end{gather} でなければならない。 よって、 \begin{gather} f \left(Y_k\right)=0 \quad f \left(Y_k\right)=f^\prime \left(Y_k\right) \cdot Y_k \quad 0 \lt Y_k\\ \Leftrightarrow f^\prime \left(Y_k\right)=0 \end{gather} これと \begin{gather} f^\prime \left(Y_k\right)=Y_k^k-X_1 \cdot X_2 \cdots X_k \end{gather} と帰納法の仮定 \begin{gather} Y_k \geq \sqrt[k]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_k} \end{gather} から、 \begin{gather} X_1=X_2= \cdots =X_k \end{gather} が成り立つ。 さらに、$X_{k+1}=Y_k$ より、 \begin{gather} X_1=X_2= \cdots =X_k=X_{k+1} \end{gather} となる。 逆に、この条件が成り立つとき、 \begin{gather} f \left(X_{k+1}\right)=0 \end{gather} となる。

以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について \begin{gather} \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_k} \le \frac{X_1+X_2+ \cdots +X_n}{n} \end{gather} が成り立つ。

［2］幾何平均と調和平均の関係
$X_1,X_2, \cdots ,X_n$ に対して、［1］の結果を適用すると、 \begin{gather} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+ \cdots +\frac{1}{X_n}\right) \geq \sqrt[n]{\frac{1}{X_1} \cdot \frac{1}{X_2} \cdots \frac{1}{X_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n}} \end{gather} $0 \lt X_1,X_2, \cdots ,X_n$ なので、 \begin{gather} 0 \lt \frac{1}{n} \left(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+ \cdots +\frac{1}{X_n}\right) \quad 0 \lt \frac{1}{\sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_n}} \end{gather} したがって、逆数を取ると、 \begin{gather} \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} \geq \frac{1}{\frac{1}{n} \left(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+ \cdots +\frac{1}{X_n}\right)} \end{gather} が成り立つ。 また、［1］より、等号が成立するのは、 \begin{gather} \frac{1}{X_1}=\frac{1}{X_2}= \cdots =\frac{1}{X_n}\Leftrightarrow X_1=X_2= \cdots =X_n \end{gather} のときに限る。

［1］、［2］より、 算術平均、幾何平均、調和平均の間には、 \begin{gather} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \geq \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_n} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{X_i}} \end{gather} が成り立つ。 $\blacksquare$