算術平均、幾何平均、調和平均の関係

［1］算術平均と幾何平均の関係
題意が成り立つことを任意の正の整数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。

［1-a］$n=1$ のとき $$\begin{array}{c}{X}_1=X_1\end{array}$$ なので、与式は成立する。

［1-b］$n=k$ のときに与式が成り立つと仮定したとき、すなわち、 $$\begin{array}{c}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\ge \sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdots X_n}\end{array}$$ としたときに、$n=k+1$ のときについて考える。

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ の対称性により、$X_1\le X_2\le \cdots \le X_{k+1}$ としても一般性を失わない。ここで、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)={\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k+x}{k+1}\right)}^{k+1}-X_1\cdot X_2\cdots X_{k}x\end{array}$$ とおき、$x$ で微分すると、 $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =(k+1){\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k+x}{k+1}\right)}^k\frac{1}{k+1}-X_1\cdot X_2\cdots X_k\\ & ={\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k+x}{k+1}\right)}^k-X_1\cdot X_2\cdots X_k\end{array}$$ さらに微分すると、 $$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{k}{k+1}{\left(\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k+x}{k+1}\right)}^{k-1}\end{array}$$ この式は、$1\le k=1$ のとき、$0\le x$ ならば、 $$\begin{array}{c}0<X_1+X_2+\cdots +X_k+x\end{array}$$ なので、 $$\begin{array}{c}0<f^{\prime \prime }\left(x\right)\end{array}$$ となる。 よって、$f^{\prime }\left(x\right)$ は、区間 $$\begin{array}{c}0\le x\end{array}$$ において単調増加である。

また、$Y_k=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k}{k}$ とすると、 $$\begin{array}{c}\frac{X_1+X_2+\cdots +X_k+Y_k}{k+1}=\frac{k{Y}_k+Y_k}{k+1}=Y_k\end{array}$$ これと、帰納法の仮定 $Y_k\ge \sqrt[k]{X_1\cdot X_2\cdot \cdots \cdot X_k}$ から、 $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(Y_k\right)=Y_k^k-X_1\cdot X_2\cdot \cdots \cdot X_k\ge 0\end{array}$$ $0<Y_k$ であり、区間 $0\le x$ において $f^{\prime }\left(x\right)$ は単調増加であるから、区間 $$\begin{array}{c}{Y}_k\le x\end{array}$$ において $$\begin{array}{c}0\le f^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$ が成り立つ。 また、 $$\begin{array}{c}f\left(Y_k\right)=Y_k^{k+1}-X_1\cdot X_2\cdots X_k\cdot Y_k=f^{\prime }\left(Y_k\right)\cdot Y_k\ge 0\end{array}$$ したがって、$Y_k\le x$ となるすべての実数 $x$ について、 $$\begin{array}{c}0\le f\left(x\right)\end{array}$$ が成り立つ。 ここで、冒頭の仮定 $X_1\le X_2\le \cdots \le X_{k+1}$ より、 $$\begin{array}{c}{X}_{k+1}=\frac{k}{k}{X}_{k+1}\ge \frac{X_1+X_2+\cdots +X_k}{k}=Y_k\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}0\le f\left(X_{k+1}\right)\end{array}$$ が成り立つ。 $f\left(X_{k+1}\right)=0$ が成り立つとすると、区間 $Y_k<x$ において、 $$\begin{array}{c}0<f^{\prime }\left(x\right)0<f\left(x\right)\end{array}$$ だから、 $$\begin{array}{c}{X}_{k+1}=Y_{k}f\left(Y_k\right)=0\end{array}$$ でなければならない。 よって、 $$\begin{array}{c}f\left(Y_k\right)=0f\left(Y_k\right)=f^{\prime }\left(Y_k\right)\cdot Y_{k}0<Y_k\\ \iff f^{\prime }\left(Y_k\right)=0\end{array}$$ これと $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(Y_k\right)=Y_k^k-X_1\cdot X_2\cdots X_k\end{array}$$ と帰納法の仮定 $$\begin{array}{c}{Y}_k\ge \sqrt[k]{X_1\cdot X_2\cdots X_k}\end{array}$$ から、 $$\begin{array}{c}{X}_1=X_2=\cdots =X_k\end{array}$$ が成り立つ。 さらに、$X_{k+1}=Y_k$ より、 $$\begin{array}{c}{X}_1=X_2=\cdots =X_k=X_{k+1}\end{array}$$ となる。 逆に、この条件が成り立つとき、 $$\begin{array}{c}f\left(X_{k+1}\right)=0\end{array}$$ となる。

以上より、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $$\begin{array}{c}\sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdot \cdots \cdot X_k}\le \frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}\end{array}$$ が成り立つ。

［2］幾何平均と調和平均の関係
$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ に対して、［1］の結果を適用すると、 $$\begin{array}{c}\frac{1}{n}(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+\cdots +\frac{1}{X_n})\ge \sqrt[n]{\frac{1}{X_1}\cdot \frac{1}{X_2}\cdots \frac{1}{X_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdots X_n}}\end{array}$$ $0<X_1,X_2,\cdots ,X_n$ なので、 $$\begin{array}{c}0<\frac{1}{n}(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+\cdots +\frac{1}{X_n})0<\frac{1}{\sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdot \cdots \cdot X_n}}\end{array}$$ したがって、逆数を取ると、 $$\begin{array}{c}\sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdots X_n}\ge \frac{1}{\frac{1}{n}(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+\cdots +\frac{1}{X_n})}\end{array}$$ が成り立つ。 また、［1］より、等号が成立するのは、 $$\begin{array}{c}\frac{1}{X_1}=\frac{1}{X_2}=\cdots =\frac{1}{X_n}\iff X_1=X_2=\cdots =X_n\end{array}$$ のときに限る。

［1］、［2］より、 算術平均、幾何平均、調和平均の間には、 $$\begin{array}{c}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\ge \sqrt[n]{X_1\cdot X_2\cdot \cdots \cdot X_n}\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{X_i}}\end{array}$$ が成り立つ。 $◼$