本稿では、カプラン・マイヤー法に関する重要事項の証明・導出を行っています。①カプラン・マイヤー推定量、②対数生存関数の分散、③グリーンウッドの公式、④補対数対数にもとづく生存関数の信頼区間、⑤対数生存オッズ比の分散、の導出、カプラン・マイヤー推定量とネルソン・アーレン推定量の関係の証明が含まれます。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露(発症)状況を表す右下の添え字は、「0」である場合(
など)や「2」である場合( など)がありますが、どちらも「非曝露群(コントロール群)」を表しています。 - 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項(2次の項)が漸近的に無視できる(
に確率収束する)と仮定しています。
目次[非表示]
カプラン・マイヤー推定量
ランダム打ち切りの下で、標本が得られる尤度は、
証明
被験者が時点
このとき尤度関数は、
標本イベント確率の漸近分布
【定理】
標本イベント確率の漸近分布
Asymptotic Distribution of Sample Proportion
イベント時間
証明
二項分布の期待値と分散の公式より、
対数生存関数の最尤推定量の分散
【定理】
対数生存関数の最尤推定量の分散
Variance of MLE of Log-Survival Function
対数生存関数の最尤推定量の分散とその推定値は、
証明
ここで、任意の時点
グリーンウッドの公式
【公式】
グリーンウッドの公式
Greenwood's Formula
生存関数の最尤推定量の分散とその推定値は、
特に、観察打切り例が全くない場合は、
証明
ここで、任意のイベント時点
部分分数分解を行うと、式
補対数対数にもとづく生存関数の信頼区間
【定理】
補対数対数変換にもとづく生存関数の信頼区間
Confidence Interval of Survival Function Based on Complementary log-log Function
補対数対数生存関数の最尤推定量の分散とその推定値は、
証明
ここで、任意のイベント時点
標準正規分布を用いた信頼区間の公式より、
対数生存オッズ比の最尤推定量の分散
【定理】
対数生存オッズ比の最尤推定量の分散
Variance of MLE of Log-Survival Odds
対数生存オッズ比の最尤推定量の分散とその推定値は、
証明
ここで、任意のイベント時点
ネルソン・アーレン推定量
イベント時点が連続した時間において観測される場合、ハザード関数の推定を行うためのアプローチのひとつに区分指数モデル piecewise exponential model がある。
区分指数モデルでは、ハザード関数が連続したイベント時点と時点の間で、区分的に定数であることを仮定する、すなわち、
時間のわずかな区間におけるイベントの確率は、十分小さな
カプラン・マイヤー推定量とネルソン・アーレン推定量の関係
【命題】
カプラン・マイヤー推定量とネルソン・アーレン推定量の関係
Relationship between Kaplan-Meier and Nelson-Aalen Estimator
イベント数が十分に大きく(
証明
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.464-469
- Kaplan, E.L. & Meier, P.. Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association. 1958, 53(282), p.457-481, doi: 10.1080/01621459.1958.10501452
- Greenwood, M.. The errors of sampling of the survivorship tables. Reports on Public Health and Medical Subjects. 1926, 33(Appendix 1), p.1-26.
- Aalen, O.. Nonparametric Inference for a Family of Counting Processes. The Annals of Statistics. 1978, 6(4), p.701-726, doi: 10.1214/aos/1176344247
- Nelson, W.. Hazard Plotting for Incomplete Failure Data. Journal of Quality Technology. 1969, 1(1), p.27-52, doi: 10.1080/00224065.1969.11980344
- Nelson, W.. Theory and Applications of Hazard Plotting for Censored Failure Data. Technometrics. 1972, 14(4), p.945-966, doi: 10.1080/00401706.1972.10488991
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