ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題9.5 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.5」の自作解答例です。比例ハザード性と比例オッズ性が同時には満たされないことを証明しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題9.5.1：比例ハザード性と比例オッズ性の両立不可能性

（a）比例ハザードの条件下では、 $$\begin{array}{c}\varphi =\frac{{\lambda }_1\left(t\right)}{{\lambda }_2\left(t\right)}\end{array}$$ ハザード関数と生存関数の関係式より、これは、 $$\begin{array}{c}{S}_1\left(t\right)={\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\varphi }\end{array}$$ と同値である。

このとき生存オッズ比は、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_S& =\frac{S_1\left(t\right)}{1-S_1\left(t\right)}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}\\ & =\frac{{\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\varphi }}{1-{\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\varphi }}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}\\ & =\frac{{\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\varphi }}{S_2\left(t\right)}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{\{1-S_2\left(t\right)\}[1+\{-S_2\left(t\right)\}+{\{-S_2\left(t\right)\}}^2+\cdots +{\{-S_2\left(t\right)\}}^{\varphi -1}]}\\ & =\frac{{\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\varphi -1}}{[1+\{-S_2\left(t\right)\}+{\{-S_2\left(t\right)\}}^2+\cdots +{\{-S_2\left(t\right)\}}^{\varphi -1}]}\end{array}$$ これは、一般的には定数とならず、経過時間 $t$ の関数となる。 $◼$

（b）比例オッズの条件下では、 $$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1\left(t\right)}{1-S_1\left(t\right)}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}=\frac{S_1\left(t\right)}{F_1\left(t\right)}\cdot \frac{F_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}=\phi \\ \frac{S_2\left(t\right)}{S_1\left(t\right)}=\frac{1}{\phi }\cdot \frac{F_2\left(t\right)}{F_1\left(t\right)}\end{array}$$ ハザード関数と生存関数、イベント密度関数の関係式より、 $$\begin{array}{c}{\lambda }_1\left(t\right)=\frac{f_1\left(t\right)}{S_1\left(t\right)}{\lambda }_2\left(t\right)=\frac{f_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}\end{array}$$ このとき、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{{\lambda }_1\left(t\right)}{{\lambda }_2\left(t\right)}$ は、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{HR}& =\frac{f_1\left(t\right)}{S_1\left(t\right)}\cdot \frac{S_2\left(t\right)}{f_2\left(t\right)}\\ & =\frac{S_2\left(t\right)}{S_1\left(t\right)}\cdot \frac{f_1\left(t\right)}{f_2\left(t\right)}\\ & =\frac{1}{\phi }\cdot \frac{F_2\left(t\right)}{F_1\left(t\right)}\cdot \frac{f_1\left(t\right)}{f_2\left(t\right)}\\ & =\frac{1}{\phi }\cdot \frac{f_1\left(t\right)}{F_1\left(t\right)}\cdot \frac{F_2\left(t\right)}{f_2\left(t\right)}\end{array}$$ これは、一般的には定数とならず、経過時間 $t$ の関数となる。 $◼$

問題9.5.2：比例ハザードをもつモデルの例

ワイブル生存分布のハザード関数の定義式 $\lambda \left(t\right)=\mu \gamma t^{\gamma -1}$ より、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{{\lambda }_1\left(t\right)}{{\lambda }_2\left(t\right)}$ は、 $$\begin{array}{c}\mathrm{HR}=\frac{{\mu }_1\gamma t^{\gamma -1}}{{\mu }_2\gamma t^{\gamma -1}}=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}=\varphi \end{array}$$ いっぽう、生存関数の定義式 $S\left(t\right)=\exp (-\mu t^{\gamma })$ より、生存オッズ比 ${\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1\left(t\right)}{1-S_1\left(t\right)}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}$ は、 $$\begin{array}{c}{O}_1=\frac{e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{1-e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{O}_2=\frac{e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}{1-e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_S& =\frac{e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{1-e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}\cdot \frac{1-e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}{e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}\\ & =\frac{e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}\cdot \frac{1-e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}{1-e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}\\ & =e^{-({\mu }_1-{\mu }_2)t^{\gamma }}\cdot \frac{1-e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}{1-e^{-{\mu }_1{t}^{\gamma }}}\\ & =e^{-(\varphi -1){\mu }_2{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1-e^{-{\mu }_2{t}^{\gamma }}}{1-e^{-\varphi {\mu }_2{t}^{\gamma }}}\\ & \ne \phi \end{array}$$ したがって、上記の条件（a）を満たす。 $◼$

問題9.5.3：比例オッズをもつモデルの例

ロジスティック生存分布の生存関数の定義式 $S\left(t\right)=\frac{1}{1+\mu t^{\gamma }}$ より、生存オッズ比 ${\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1\left(t\right)}{1-S_1\left(t\right)}\cdot \frac{1-S_2\left(t\right)}{S_2\left(t\right)}$ は、 $$\begin{array}{c}{O}_1=\frac{1}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}=\frac{1}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}\\ O_2=\frac{1}{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}=\frac{1}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_S=\frac{\frac{1}{{\mu }_1{t}^{\gamma }}}{\frac{1}{{\mu }_2{t}^{\gamma }}}=\frac{{\mu }_2}{{\mu }_1}=\phi \end{array}$$ いっぽう、ハザード関数の定義式 $\lambda \left(t\right)=\frac{\mu {\gamma t}^{\gamma -1}}{1+\mu t^{\gamma }}$ より、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{{\lambda }_1\left(t\right)}{{\lambda }_2\left(t\right)}$ は、 $$\begin{array}{rlr}\mathrm{HR}& =\frac{{\mu }_1{\gamma t}^{\gamma -1}}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\cdot \frac{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}{{\mu }_2{\gamma t}^{\gamma -1}}& =\frac{{\mu }_1{\gamma t}^{\gamma -1}}{{\mu }_2{\gamma t}^{\gamma -1}}\cdot \frac{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\\ & =\frac{1}{\phi }\cdot \frac{1+{\mu }_2{t}^{\gamma }}{1+{\mu }_1{t}^{\gamma }}\\ & \ne \varphi \end{array}$$ したがって、上記の条件（b）を満たす。 $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.562

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