本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.5」の自作解答例です。比例ハザード性と比例オッズ性が同時には満たされないことを証明しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題9.5.1：比例ハザード性と比例オッズ性の両立不可能性
（a）比例ハザードの条件下では、 \begin{gather} \phi=\frac{\lambda_1 \left(t\right)}{\lambda_2 \left(t\right)} \end{gather} ハザード関数と生存関数の関係式より、これは、 \begin{gather} S_1 \left(t\right)= \left[S_2 \left(t\right)\right]^\phi \end{gather} と同値である。
このとき生存オッズ比は、 \begin{align} {\mathrm{OR}}_S&=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{ \left[S_2 \left(t\right)\right]^\phi}{1- \left[S_2 \left(t\right)\right]^\phi} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{ \left[S_2 \left(t\right)\right]^\phi}{S_2 \left(t\right)} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{ \left\{1-S_2 \left(t\right)\right\} \left[1+ \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}+ \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}^2+ \cdots + \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}^{\phi-1}\right]}\\ &=\frac{ \left[S_2 \left(t\right)\right]^{\phi-1}}{ \left[1+ \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}+ \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}^2+ \cdots + \left\{-S_2 \left(t\right)\right\}^{\phi-1}\right]} \end{align} これは、一般的には定数とならず、経過時間 $t$ の関数となる。 $\blacksquare$
（b）比例オッズの条件下では、 \begin{gather} {\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}=\frac{S_1 \left(t\right)}{F_1 \left(t\right)} \cdot \frac{F_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}=\varphi\\ \frac{S_2 \left(t\right)}{S_1 \left(t\right)}=\frac{1}{\varphi} \cdot \frac{F_2 \left(t\right)}{F_1 \left(t\right)} \end{gather} ハザード関数と生存関数、イベント密度関数の関係式より、 \begin{gather} \lambda_1 \left(t\right)=\frac{f_1 \left(t\right)}{S_1 \left(t\right)} \quad \lambda_2 \left(t\right)=\frac{f_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)} \end{gather} このとき、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{\lambda_1 \left(t\right)}{\lambda_2 \left(t\right)}$ は、 \begin{align} \mathrm{HR}&=\frac{f_1 \left(t\right)}{S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{S_2 \left(t\right)}{f_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{S_2 \left(t\right)}{S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{f_1 \left(t\right)}{f_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{1}{\varphi} \cdot \frac{F_2 \left(t\right)}{F_1 \left(t\right)} \cdot \frac{f_1 \left(t\right)}{f_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{1}{\varphi} \cdot \frac{f_1 \left(t\right)}{F_1 \left(t\right)} \cdot \frac{F_2 \left(t\right)}{f_2 \left(t\right)} \end{align} これは、一般的には定数とならず、経過時間 $t$ の関数となる。 $\blacksquare$
問題9.5.2：比例ハザードをもつモデルの例
ワイブル生存分布のハザード関数の定義式 $\lambda \left(t\right)=\mu\gamma t^{\gamma-1}$ より、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{\lambda_1 \left(t\right)}{\lambda_2 \left(t\right)}$ は、 \begin{gather} \mathrm{HR}=\frac{\mu_1\gamma t^{\gamma-1}}{\mu_2\gamma t^{\gamma-1}}=\frac{\mu_1}{\mu_2}=\phi \end{gather} いっぽう、生存関数の定義式 $S \left(t\right)=\exp \left(-\mu t^\gamma\right)$ より、生存オッズ比 ${\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}$ は、 \begin{gather} O_1=\frac{e^{-\mu_1t^\gamma}}{1-e^{-\mu_1t^\gamma}} \quad O_2=\frac{e^{-\mu_2t^\gamma}}{1-e^{-\mu_2t^\gamma}} \end{gather} \begin{align} {\mathrm{OR}}_S&=\frac{e^{-\mu_1t^\gamma}}{1-e^{-\mu_1t^\gamma}} \cdot \frac{1-e^{-\mu_2t^\gamma}}{e^{-\mu_2t^\gamma}}\\ &=\frac{e^{-\mu_1t^\gamma}}{e^{-\mu_2t^\gamma}} \cdot \frac{1-e^{-\mu_2t^\gamma}}{1-e^{-\mu_1t^\gamma}}\\ &=e^{- \left(\mu_1-\mu_2\right)t^\gamma} \cdot \frac{1-e^{-\mu_2t^\gamma}}{1-e^{-\mu_1t^\gamma}}\\ &=e^{- \left(\phi-1\right)\mu_2t^\gamma} \cdot \frac{1-e^{-\mu_2t^\gamma}}{1-e^{-\phi\mu_2t^\gamma}}\\ & \neq \varphi \end{align} したがって、上記の条件（a）を満たす。 $\blacksquare$
問題9.5.3：比例オッズをもつモデルの例
ロジスティック生存分布の生存関数の定義式 $S \left(t\right)=\frac{1}{1+\mu t^\gamma}$ より、生存オッズ比 ${\mathrm{OR}}_S=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)} \cdot \frac{1-S_2 \left(t\right)}{S_2 \left(t\right)}$ は、 \begin{gather} O_1=\frac{1}{1+\mu_1t^\gamma} \cdot \frac{1+\mu_1t^\gamma}{\mu_1t^\gamma}=\frac{1}{\mu_1t^\gamma}\\ O_2=\frac{1}{1+\mu_2t^\gamma} \cdot \frac{1+\mu_2t^\gamma}{\mu_2t^\gamma}=\frac{1}{\mu_2t^\gamma} \end{gather} \begin{gather} {\mathrm{OR}}_S=\frac{\frac{1}{\mu_1t^\gamma}}{\frac{1}{\mu_2t^\gamma}}=\frac{\mu_2}{\mu_1}=\varphi \end{gather} いっぽう、ハザード関数の定義式 $\lambda \left(t\right)=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mu t^\gamma}$ より、ハザード比 $\mathrm{HR}=\frac{\lambda_1 \left(t\right)}{\lambda_2 \left(t\right)}$ は、 \begin{align} \mathrm{HR}&=\frac{\mu_1{\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mu_1t^\gamma} \cdot \frac{1+\mu_2t^\gamma}{\mu_2{\gamma t}^{\gamma-1}} &=\frac{\mu_1{\gamma t}^{\gamma-1}}{\mu_2{\gamma t}^{\gamma-1}} \cdot \frac{1+\mu_2t^\gamma}{1+\mu_1t^\gamma}\\ &=\frac{1}{\varphi} \cdot \frac{1+\mu_2t^\gamma}{1+\mu_1t^\gamma}\\ & \neq \phi \end{align} したがって、上記の条件（b）を満たす。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.562
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