重積分の定義と性質

本稿では、重積分を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

二重積分の定義

$xy$ 平面の点集合 $D$ が有界閉領域、すなわち $D$ は境界をすべて含み、かつ
$D$ は原点を中心とする有限な半径 $R$ の円内に含まれる とする $x,y$ の2変数関数 $z=f(x,y)$ が有界閉領域 $D$ において連続であるとし、$D$ を $n$ 個の小領域 $$\begin{array}{c}{D}_1,D_2,\cdots ,D_n\end{array}$$ に分け、 それらの面積を $$\begin{array}{c}{S}_1,S_2,\cdots ,S_n\end{array}$$ とする。 各 $D$ 内の任意の1点を $P(x_i,y_i)$ とし、次の和 $$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\cdot S_i\end{array}$$ をつくる。 この和をリーマン和 Riemann sum という。

$D$ を $n$ 個の小領域に分ける方法、および、点 $P(x_i,y_i)$ の選び方はいろいろある.しかし、分割の仕方を限りなく小さくしていくとき、上の和は小領域の分け方および点 $P(x_i,y_i)$ の選び方に無関係な一定の値に近づく。その極限値を $f(x_i,y_i)$ の $D$ における二重積分 double integral といい、これを $$\begin{array}{c}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy\end{array}$$ と表す。

二重積分の性質

累次積分

$f(x,y)$ が考えている有界閉領域 $D$ で連統な関数であるとき、二重積分の計算は次のように、1変数の積分を繰り返して行われる。このような1変数の積分を繰り返す積分を累次積分 iterated integral という。

右辺の $$\begin{array}{c}{\int }_a^b\left\{{\int }_c^{d}f(x,y)dy\right\}dx{\int }_c^d\left\{{\int }_a^{b}f(x,y)dx\right\}dy\end{array}$$ はそれぞれ $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy{\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dxdy\\ {\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx{\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy\end{array}$$ とも書く。 特に、変数分離形 $z=f\left(x\right)\cdot g\left(y\right)$ のときは $$\begin{array}{c}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy=\left[{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right]\left[{\int }_c^{d}g\left(y\right)dy\right]\end{array}$$

関数 $z=f(x,y)$ が $D$ 上で定義された連続関数で、$D$ 上で $0\le f(x,y)$ であるものとする。このとき、曲面 $z=f(x,y)$ が領域 $D$ との間につくる立体の体積 $V$ は $$\begin{array}{c}V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy\end{array}$$ と表される。

積分順序の変更

> 関数 $f(x,y)$ の定義されている有界閉領域 $D$ が2通りの方法で表されている場合を考える。 ① $D:\{\begin{array}{c}a\le x\le b\\ p\left(x\right)\le y\le q\left(x\right)\end{array}$
② $D:\{\begin{array}{c}c\le y\le d\\ r\left(y\right)\le x\le s\left(y\right)\end{array}$ このとき、二重積分は次のように計算できる。

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.200-205

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