本稿では、重積分を紹介しています。
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二重積分の定義
$xy$ 平面の点集合 $D$ が有界閉領域、すなわち
$D$ は境界をすべて含み、かつ
$D$ は原点を中心とする有限な半径 $R$ の円内に含まれる
とする
$x,y$ の2変数関数 $z=f \left(x,y\right)$ が有界閉領域 $D$ において連続であるとし、$D$ を $n$ 個の小領域
\begin{gather}
D_1,D_2, \cdots ,D_n
\end{gather}
に分け、
それらの面積を
\begin{gather}
S_1,S_2, \cdots ,S_n
\end{gather}
とする。
各 $D$ 内の任意の1点を $P \left(x_i,y_i\right)$ とし、次の和
\begin{gather}
\sum_{i=1}^{n}{f \left(x_i,y_i\right) \cdot S_i}
\end{gather}
をつくる。
この和をリーマン和 Riemann sum という。
$D$ を $n$ 個の小領域に分ける方法、および、点 $P \left(x_i,y_i\right)$ の選び方はいろいろある.しかし、分割の仕方を限りなく小さくしていくとき、上の和は小領域の分け方および点 $P \left(x_i,y_i\right)$ の選び方に無関係な一定の値に近づく。その極限値を $f \left(x_i,y_i\right)$ の $D$ における二重積分 double integral といい、これを \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy \end{gather} と表す。
二重積分の性質
【定理】
二重積分の性質
Properties of Double Integrals
①定数倍
\begin{gather}
\iint_{D}kf \left(x,y\right)dxdy=k\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy
\end{gather}
②和・差
\begin{gather}
\iint_{D} \left\{f \left(x,y\right)+g \left(x,y\right)\right\}dxdy=\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy+\iint_{D}g \left(x,y\right)dxdy\\
\iint_{D} \left\{f \left(x,y\right)-g \left(x,y\right)\right\}dxdy=\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy-\iint_{D}g \left(x,y\right)dxdy
\end{gather}
③加法性
$D_1,D_2$ が $D$ の分割ならば、
\begin{gather}
\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\iint_{D_1}f \left(x,y\right)dxdy+\iint_{D_2}f \left(x,y\right)dxdy
\end{gather}
④単調性
$D$ で常に $f \left(x,y\right) \le g \left(x,y\right)$ ならば、
\begin{gather}
\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy \le \iint_{D}g \left(x,y\right)dxdy
\end{gather}
累次積分
$f \left(x,y\right)$ が考えている有界閉領域 $D$ で連統な関数であるとき、二重積分の計算は次のように、1変数の積分を繰り返して行われる。このような1変数の積分を繰り返す積分を累次積分 iterated integral という。
【定理】
単純な領域における累次積分
Iterated Integral over Simple Domains
$D:a \le x \le b,c \le y \le d$ のとき \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\int_{a}^{b} \left\{\int_{c}^{d}f \left(x,y\right)dy\right\}dx=\int_{c}^{d} \left\{\int_{a}^{b}f \left(x,y\right)dx\right\}dy \end{gather}
右辺の \begin{gather} \int_{a}^{b} \left\{\int_{c}^{d}f \left(x,y\right)dy\right\}dx \quad \int_{c}^{d} \left\{\int_{a}^{b}f \left(x,y\right)dx\right\}dy \end{gather} はそれぞれ \begin{gather} \int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f \left(x,y\right)dy \quad \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f \left(x,y\right)dxdy\\ \int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f \left(x,y\right)dx \quad \int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f \left(x,y\right)dxdy \end{gather} とも書く。 特に、変数分離形 $z=f \left(x\right) \cdot g \left(y\right)$ のときは \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy= \left[\int_{a}^{b}f \left(x\right)dx\right] \left[\int_{c}^{d}g \left(y\right)dy\right] \end{gather}
【定理】
一般の領域における累次積分
Iterated Integral over General Domains
① $D:a \le x \le b,p \left(x\right) \le y \le q \left(x\right)$ のとき \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\int_{a}^{b} \left\{\int_{p \left(x\right)}^{q \left(x\right)}f \left(x,y\right)dy\right\}dx \end{gather} ② $D:c \le y \le d,r \left(y\right) \le x \le s \left(y\right)$ のとき \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\int_{c}^{d} \left\{\int_{r \left(x\right)}^{s \left(x\right)}f \left(x,y\right)dx\right\}dy \end{gather}
関数 $z=f \left(x,y\right)$ が $D$ 上で定義された連続関数で、$D$ 上で $0 \le f \left(x,y\right)$ であるものとする。このとき、曲面 $z=f \left(x,y\right)$ が領域 $D$ との間につくる立体の体積 $V$ は \begin{gather} V=\iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy \end{gather} と表される。
積分順序の変更
>
関数 $f \left(x,y\right)$ の定義されている有界閉領域 $D$ が2通りの方法で表されている場合を考える。
① $D: \left\{\begin{matrix}a \le x \le b\\p \left(x\right) \le y \le q \left(x\right)\\\end{matrix}\right.$
② $D: \left\{\begin{matrix}c \le y \le d\\r \left(y\right) \le x \le s \left(y\right)\\\end{matrix}\right.$
このとき、二重積分は次のように計算できる。
【定理】
積分順序の変更
Changing Order of Integration
\begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{p \left(x\right)}^{q \left(x\right)}f \left(x,y\right)dy=\int_{c}^{d}dy\int_{r \left(y\right)}^{s \left(y\right)}f \left(x,y\right)dx \end{gather}
参考文献
- 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.200-205
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