曲線の凹凸

本稿では、曲線の凹凸を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

上に凸・下に凸

いま、$I$ を1つの区間とし、関数 $f$ が $I$ で定義されているとする。$a,b$ を区間 $I$ に属する任意の2つの異なる数とする。区間 $[a,b]$ （または $[b,a]$）において、グラフ上の2点 $$\begin{array}{c}P\{a,f\left(a\right)\}Q\{b,f\left(b\right)\}\end{array}$$ を直線で結ぶ。 そのとき、区間 $[a,b]$ （または $[b,a]$）の内部で直線 $\mathrm{PQ}$ のほうが関数 $y=f\left(x\right)$ のグラフより上方にあるならば、曲線 $y=f\left(x\right)$ は区間 $I$ において下に凸 convex downward であるという。

2点 $$\begin{array}{c}P\{a,f\left(a\right)\}Q\{b,f\left(b\right)\}\end{array}$$ を結ぶ直線の方程式は $$\begin{array}{c}y=f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}(x-a)\end{array}$$ で与えられるので、 区間 $[a,b]$ （または $[b,a]$）の内部で直線のほうが曲線 $y=f\left(x\right)$ より上方にあることは、$a<x<b$（または$b<x<a$）を満たす任意の $x$ に対して、不等式 $$\begin{array}{}\text{(1)}& y<f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}(x-a)\end{array}$$ が成り立つことである。

上と反対に、$I$ に属する任意の異なる2数 $a,b$ とその間にある任意の数 $x$ に対して、不等式 $$\begin{array}{}\text{(2)}& y>f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}(x-a)\end{array}$$ が成り立つとき、 曲線 $y=f\left(x\right)$ は区間 $I$ において上に凸 convex upward であるという。

下に凸な曲線は上に凹であるともいわれ、上に凸な曲線は下に凹であるともいわれる。

曲線 $y=f\left(x\right)$ が下に凸あるいは上に凸であることを、関数 $f$ がその区間において下に凸あるいは上に凸であるという。

下に凸な関数は単に凸関数 convex function と呼ばれ、上に凸な関数は凹関数 concave function と呼ばれる。$f$ が凸関数ならば $-f$ は凹関数であり、$f$ が凹関数ならば $-f$ は凸関数である。

凸関数の定義のいいかえ

いま、 $$\begin{array}{c}t=\frac{x-a}{b-a}\end{array}$$ とおいて、凸関数の定義式 $(1)$ を書き直す。 $x$ が区間 $(a,b)$ を動くとき、$t$ は $$\begin{array}{c}0<t<1\end{array}$$ の範囲を動く。 $$\begin{array}{c}t(b-a)=x-a\\ x=(1-t)a+tb\end{array}$$ よって式 $(1)$ の左辺は、 $$\begin{array}{c}f\{(1-t)a+tb\}\end{array}$$ いっぽう、右辺は、 $$\begin{array}{rl}f\left(a\right)-\frac{x-a}{b-a}\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\}& =f\left(a\right)-t\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\}\\ & =(1-t)f\left(a\right)+tf\left(b\right)\end{array}$$ よって、式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{c}f\{(1-t)a+tb\}<(1-t)f\left(a\right)+tf\left(b\right)\end{array}$$ となる。 これを整理すると次のようになる。

関数 $f$ が区間 $I$ において凸（くわしくは下に凸）である、あるいは凸関数であるとは、$I$ に属する任意の異なる2数 $a,b$ および $$\begin{array}{c}0<t<1s+t=1\end{array}$$ を満たす任意の数 $s,t$ に対して $$\begin{array}{c}f(sa+tb)<sf\left(a\right)+tf\left(b\right)\end{array}$$ が成り立つことである。

導関数の増減と凹凸

関数 $f$ が区間 $I$ において導関数 $f^{"}$ をもつとき、次の定理が成り立つ。

第2次導関数の符号と凹凸

関数 $f$ が区間 $I$ において第2次導関数 $f^{\prime \prime }$ をもつとするとき、次の定理が成り立つ。

第2次導関数と極大・極小

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.928-940
• 上に凸，下に凸な関数と二階微分. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/927.
• 変曲点の意味といろいろな例. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1214.

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