曲線の凹凸

本稿では、曲線の凹凸を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

上に凸・下に凸

いま、$I$ を1つの区間とし、関数 $f$ が $I$ で定義されているとする。$a,b$ を区間 $I$ に属する任意の2つの異なる数とする。区間 $ \left[a,b\right]$ （または $ \left[b,a\right]$）において、グラフ上の2点 \begin{gather} P \left\{a,f \left(a\right)\right\} \quad Q \left\{b,f \left(b\right)\right\} \end{gather} を直線で結ぶ。 そのとき、区間 $ \left[a,b\right]$ （または $ \left[b,a\right]$）の内部で直線 $\mathrm{PQ}$ のほうが関数 $y=f \left(x\right)$ のグラフより上方にあるならば、曲線 $y=f \left(x\right)$ は区間 $I$ において下に凸 convex downward であるという。

2点 \begin{gather} P \left\{a,f \left(a\right)\right\} \quad Q \left\{b,f \left(b\right)\right\} \end{gather} を結ぶ直線の方程式は \begin{gather} y=f \left(a\right)-\frac{f \left(b\right)-f \left(a\right)}{b-a} \left(x-a\right) \end{gather} で与えられるので、 区間 $ \left[a,b\right]$ （または $ \left[b,a\right]$）の内部で直線のほうが曲線 $y=f \left(x\right)$ より上方にあることは、$a \lt x \lt b$（または$b \lt x \lt a$）を満たす任意の $x$ に対して、不等式 \begin{gather} y \lt f \left(a\right)-\frac{f \left(b\right)-f \left(a\right)}{b-a} \left(x-a\right)\tag{1} \end{gather} が成り立つことである。

上と反対に、$I$ に属する任意の異なる2数 $a,b$ とその間にある任意の数 $x$ に対して、不等式 \begin{gather} y \gt f \left(a\right)-\frac{f \left(b\right)-f \left(a\right)}{b-a} \left(x-a\right)\tag{2} \end{gather} が成り立つとき、 曲線 $y=f \left(x\right)$ は区間 $I$ において上に凸 convex upward であるという。

下に凸な曲線は上に凹であるともいわれ、上に凸な曲線は下に凹であるともいわれる。

曲線 $y=f \left(x\right)$ が下に凸あるいは上に凸であることを、関数 $f$ がその区間において下に凸あるいは上に凸であるという。

下に凸な関数は単に凸関数 convex function と呼ばれ、上に凸な関数は凹関数 concave function と呼ばれる。$f$ が凸関数ならば $-f$ は凹関数であり、$f$ が凹関数ならば $-f$ は凸関数である。

凸関数の定義のいいかえ

いま、 \begin{gather} t=\frac{x-a}{b-a} \end{gather} とおいて、凸関数の定義式 $(1)$ を書き直す。 $x$ が区間 $ \left(a,b\right)$ を動くとき、$t$ は \begin{gather} 0 \lt t \lt 1 \end{gather} の範囲を動く。 \begin{gather} t \left(b-a\right)=x-a\\ x= \left(1-t\right)a+tb \end{gather} よって式 $(1)$ の左辺は、 \begin{gather} f \left\{ \left(1-t\right)a+tb\right\} \end{gather} いっぽう、右辺は、 \begin{align} f \left(a\right)-\frac{x-a}{b-a} \left\{f \left(b\right)-f \left(a\right)\right\}&=f \left(a\right)-t \left\{f \left(b\right)-f \left(a\right)\right\}\\ &= \left(1-t\right)f \left(a\right)+tf \left(b\right) \end{align} よって、式 $(1)$ は、 \begin{gather} f \left\{ \left(1-t\right)a+tb\right\} \lt \left(1-t\right)f \left(a\right)+tf \left(b\right) \end{gather} となる。 これを整理すると次のようになる。

関数 $f$ が区間 $I$ において凸（くわしくは下に凸）である、あるいは凸関数であるとは、$I$ に属する任意の異なる2数 $a,b$ および \begin{gather} 0 \lt t \lt 1 \quad s+t=1 \end{gather} を満たす任意の数 $s,t$ に対して \begin{gather} f \left(sa+tb\right) \lt sf \left(a\right)+tf \left(b\right) \end{gather} が成り立つことである。

導関数の増減と凹凸

関数 $f$ が区間 $I$ において導関数 $f^"$ をもつとき、次の定理が成り立つ。

第2次導関数の符号と凹凸

関数 $f$ が区間 $I$ において第2次導関数 $f^{\prime\prime}$ をもつとするとき、次の定理が成り立つ。

第2次導関数と極大・極小

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.928-940
• 上に凸，下に凸な関数と二階微分. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/927.
• 変曲点の意味といろいろな例. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1214.

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