多変数関数の極値

本稿では、多変数関数の極値を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

 

偏微分作用素

$h,k$ を定数として、偏微分作用素を \begin{gather} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)f \left(x,y\right)=h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y} \end{gather} によって定義する。

いま、 \begin{gather} z=f \left(x,y\right) \quad x=a+ht \quad y=b+kt \end{gather} で $z=f \left(x,y\right)$ が必要な回数だけ連線な偏導関数をもてば、合成関数の微分法より、 \begin{gather} \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}= \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)z \end{gather} \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2}&=h \left(\frac{\partial^2z}{\partial x^2} \cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x} \cdot \frac{dy}{dt}\right)+k \left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \cdot \frac{dx}{dt}+ \cdot \frac{dy}{dt}\right)\\ &=h^2\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}+k^2\frac{\partial z}{\partial y^2}\\ &= \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2z \end{align} 一般に \begin{gather} \frac{d^nz}{dt^n}= \left(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y}\right)^nz \end{gather}

 

二変数関数のテイラーの定理

 

極大・極小

$f \left(x,y\right)$ が点 $a,b$ の近傍で、$ \left(a,b\right)$ 以外のすべての $ \left(x,y\right)$ に対して \begin{gather} f \left(x,y\right) \lt f \left(a,b\right) \end{gather} のとき、$f$は点 $ \left(a,b\right)$ で極大であるという。

同様に、 \begin{gather} f \left(x,y\right) \gt f \left(a,b\right) \end{gather} のとき、$f$は点 $ \left(a,b\right)$ で極小であるという。

極大・極小であるときの値 $f \left(a,b\right)$ それぞれを極大値・極小値といい、これらを総称して極値という。

 

一般の極値判定法

極値をとる必要条件

 

極値をとる十分条件

 

ヘッセ行列

一般に、多変数 $x_1,x_2, \cdots ,x_n$ をもつ関数 $f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)$ の二階偏導関数全体が作る $n$ 次正方行列 \begin{gather} H= \left[\begin{matrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2}& \cdots &\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2}\\\end{matrix}\right] \end{gather} をヘッセ行列 Hessian matrix という。

 

多変数関数の条件付き極値

点 $f \left(x,y\right)$ が曲線 $g \left(x,y\right)=0$ 上を動くとき、$f \left(x,y\right)$ の最大・最小を考える。関数が最大値・最小値をとるような点では必ず極値をとることから、このような問題においては、次のラグランジュの未定乗数法を用いて連立方程式の問題に帰着できる。

ラグランジュの未定乗数法

 

多変数関数の条件付き極値

ラグランジュの乗数法は3変数以上の場合にも次のように拡張できる。すなわち \begin{gather} G \left(\boldsymbol{x}\right)= \left[\begin{matrix}g_{x_1} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)\\\vdots\\g_{x_n} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)\\\end{matrix}\right] \neq \boldsymbol{0} \end{gather} とする。 このとき、 \begin{gather} g \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)=0 \end{gather} という条件の下で $f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)$ が点 $ \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)$ で極値をとるならば \begin{gather} f_{x_1} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)+\lambda g_{x_1} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)=0\\ f_{x_2} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)+\lambda g_{x_2} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)=0\\ \vdots\\ f_{x_n} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)+\lambda g_{x_n} \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)=0 \end{gather} を満たす数 $\lambda$ が存在する。

 

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.184-193

関連記事

• 多変数関数の極限と連続性
• 偏微分と全微分