極限の計算

数列 $ \left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$ がともに収束して \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha \quad \ \lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=\beta \end{gather} ならば、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ka_n}=k\alpha\tag{1} \end{gather} ただし、$k$ は定数 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_n+b_n\right)}=\alpha+\beta\tag{2} \end{gather} \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_n-b_n\right)}=\alpha-\beta\tag{3} \end{gather} \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_nb_n}=\alpha\beta\tag{4} \end{gather} \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{\alpha}{\beta} \quad \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{b_n}}=\frac{1}{\beta}\ \tag{5} \end{gather} ただし、$b_n \neq 0\ \left(n=1,2, \cdots \right)$ かつ $\beta \neq 0$ が成り立つ。

数列 $ \left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}$ がともに収束して \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha \quad \ \lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=\beta \end{gather} ならば、次のことが成り立つ。 ［1］ \begin{gather} a_n \le b_n \quad n=1,2, \cdots \end{gather} ならば \begin{gather} \alpha \le \beta \end{gather} ［2］数列 $ \left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}, \left\{c_n\right\}$ において、 \begin{gather} a_n \le b_n \le c_n \end{gather} であり、かつ \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{c_n}=\alpha \end{gather} ならば、 数列 $ \left\{b_n\right\}$ も収束して、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=\alpha \end{gather} これは、はさみうちの原理 squeeze theorem, pinching theorem, sandwich theorem などと呼ばれる。

［1］ \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(-a_n\right)}=-\infty \end{gather} ［2］ \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty \end{gather} または、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty \end{gather} ならば \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_n+b_n\right)}=+\infty \end{gather} ［3］ \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_nb_n\right)}=+\infty\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=-\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_nb_n\right)}=-\infty \end{gather} ［4］ \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha \gt 0,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_nb_n\right)}=+\infty\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha \lt 0,\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(a_nb_n\right)}=-\infty \end{gather} ［5］$0 \lt a_n$ のとき、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty \end{gather} $a_n \lt 0$ のとき、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{a_n}}=0\Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=-\infty \end{gather} ［6］$a_n \lt b_n$ のとき、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=+\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}=-\infty\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=-\infty \end{gather}

$r$ を定数とするとき、数列 \begin{gather} \left\{r_n\right\}= \left\{r^n\right\} \end{gather} について次のことが成り立つ。 ［1］ \begin{gather} 1 \lt r\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n}=+\infty\tag{6} \end{gather} ［2］ \begin{gather} r=1\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n}=1\tag{7} \end{gather} ［3］ \begin{gather} \left|r\right| \lt 1\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}{r^n}=0\tag{8} \end{gather} ［4］ \begin{gather} r \le -1 \end{gather} ならば数列 $ \left\{r^n\right\}$ は振動し、極限値は存在しない。