本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.8」の自作解答例です。カプラン・マイヤー法に関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
- 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_{1-\alpha}$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_\alpha$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題9.8.1：任意のイベント時間におけるイベント確率と生存関数の関係
被験者が時点 $t_{ \left(j\right)}$ を超えてイベントを発生せずに生存するためには $t_{ \left(j-1\right)}$ を超えてイベントを発生せずに生存する必要があり、以下、同様に、その前の時点での生存が条件となる。したがって、 \begin{align} S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}&=P \left\{t_{ \left(j\right)} \lt T\right\}\\ &=P \left\{t_{ \left(j\right)} \lt T\middle| t_{ \left(j-1\right)} \lt T\right\} \cdot P \left\{t_{ \left(j-1\right)} \lt T\right\}\\ &=P \left\{t_{ \left(j\right)} \lt T\middle| t_{ \left(j-1\right)} \lt T\right\} \cdot P \left\{t_{ \left(j-1\right)} \lt T\middle| t_{ \left(j-2\right)} \lt T\right\} \cdot P \left\{t_{ \left(j-2\right)} \lt T\right\}\\ &= \cdots \end{align} 定義より、 \begin{align} P \left\{t_{ \left(j\right)} \lt T\middle| t_{ \left(j-1\right)} \lt T\right\}&=P \left\{t_{ \left(j\right)} \lt T\middle| t_{ \left(j\right)} \le T\right\}\\ &=1-\pi_j \end{align} すなわち、 \begin{align} S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}&= \left(1-\pi_j\right)S \left\{t_{ \left(j-1\right)}\right\}\\ &= \left(1-\pi_j\right) \left(1-\pi_{j-1}\right) \cdots \left(1-\pi_2\right) \left(1-\pi_1\right)\\ &=\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right) \end{align} いっぽう、イベントの分布関数の定義より、 \begin{gather} F \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}=\sum_{l=1}^{j}f_l\\ S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}=1-F \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}=1-\sum_{l=1}^{j}f_l \end{gather} したがって、 \begin{align} S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}=\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right)=1-\sum_{l=1}^{j}f_l \end{align} また、 \begin{align} 1-\pi_j&=1-\frac{f_j}{\sum_{l=1}^{j}f_l}\\ &=\frac{\sum_{l=1}^{j}f_l-f_j}{\sum_{l=1}^{j}f_l}\\ &=\frac{\sum_{l=1}^{j-1}f_l}{\sum_{l=1}^{j}f_l} \end{align} \begin{align} S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}&=\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right)\\ &=\frac{f_1}{f_1+f_2} \cdot \frac{f_1+f_2}{f_1+f_2+f_3} \cdot \cdots \cdot \frac{f_1+f_2+ \cdots +f_{j-2}}{f_1+f_2+ \cdots +f_{j-1}} \cdot \frac{f_1+f_2+ \cdots +f_{j-1}}{f_1+f_2+ \cdots +f_j}\\ &=\frac{f_1}{\sum_{l=1}^{j}f_l} \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.2：カプラン・マイヤー法の尤度関数
このとき尤度関数は、 \begin{align} L \left(\pi_1,\pi_2, \cdots ,\pi_J\right)\propto\prod_{j=1}^{J}{\pi_j^{d_j} \left[S \left\{t_{ \left(j-1\right)}\right\}\right]^{d_j} \left[S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}\right]^{w_j}} \end{align} ここで、以下のようにおくと、 \begin{align} M&=\prod_{j=1}^{J}{ \left[S \left\{t_{ \left(j-1\right)}\right\}\right]^{d_j} \left[S \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}\right]^{w_j}}\\ &= \left[S \left\{t_{ \left(0\right)}\right\}\right]^{d_1} \left[S \left\{t_{ \left(1\right)}\right\}\right]^{w_1} \cdot \left[S \left\{t_{ \left(1\right)}\right\}\right]^{d_2} \left[S \left\{t_{ \left(2\right)}\right\}\right]^{w_2} \cdot \cdots \cdot \left[S \left\{t_{ \left(J-1\right)}\right\}\right]^{d_J} \left[S \left\{t_{ \left(J\right)}\right\}\right]^{w_J}\\ &= \left[S \left\{t_{ \left(0\right)}\right\}\right]^{d_1} \left[ \left(1-\pi_1\right)S \left\{t_{ \left(0\right)}\right\}\right]^{w_1} \cdots \left[S \left\{t_{ \left(J-1\right)}\right\}\right]^{d_J} \left[ \left(1-\pi_J\right)S \left\{t_{ \left(J-1\right)}\right\}\right]^{w_J}\\ &= \left[ \left(1-\pi_1\right)\right]^{w_1} \cdot \left[ \left(1-\pi_1\right)\right]^{d_2} \left[ \left(1-\pi_2\right) \left(1-\pi_1\right)\right]^{w_2} \cdots \left[ \left(1-\pi_{J-1}\right) \cdots \left(1-\pi_1\right)\right]^{d_J} \left[ \left(1-\pi_J\right) \cdots \left(1-\pi_1\right)\right]^{w_J}\\ &= \left(1-\pi_1\right)^{w_1+d_2+w_2+ \cdots +d_J+w_J} \cdot \left(1-\pi_2\right)^{w_2+d_3+w_3 \cdots +d_J+w_J} \cdots \left(1-\pi_J\right)^{w_{J-1}+d_J+w_J} \end{align} ここで、リスク集合とイベント数、打ち切り数についての関係式より、 \begin{gather} n_1-n_2=d_1+w_1\\ n_2-n_3=d_2+w_2\\ \vdots\\ n_J-n_{J+1}=d_J+w_J \end{gather} この辺々の和を取ると、$n_{J+1}=0$ より、 \begin{gather} n_1-n_{J+1}=\sum_{j=1}^{J} \left(d_j+w_j\right)\\ n_1=\sum_{j=1}^{J} \left(d_j+w_j\right)\\ n_1-d_1=\sum_{j=1}^{J} \left(d_j+w_j\right)-d_1 \end{gather} 同様の操作（$i$ 番目のリスク集合以降の和を取る）をすることで、一般に \begin{align} n_i-d_i=\sum_{j=1}^{J} \left(d_j+w_j\right)-d_i \end{align} よって、 \begin{align} M&= \left(1-\pi_1\right)^{n_1-d_1} \cdot \left(1-\pi_2\right)^{n_2-d_2} \cdot \cdots \cdot \left(1-\pi_J\right)^{n_J-d_J}\\ &=\prod_{j=1}^{J} \left(1-\pi_j\right)^{n_j-d_j} \end{align} したがって、 \begin{align} L \left(\pi_1,\pi_2, \cdots ,\pi_J\right)\propto\prod_{j=1}^{J}{\pi_j^{d_j} \left(1-\pi_j\right)^{n_j-d_j}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\pi_1,\pi_2, \cdots ,\pi_J\right)=\sum_{j=1}^{J} \left\{d_j\log{\pi_j}+ \left(n_j-d_j\right)\log{ \left(1-\pi_j\right)}\right\} \end{align} パラメータ $\pi_i$ に関するスコア関数 $U \left(\theta\right)=\frac{\partial}{\partial\theta}l \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} U \left(\pi_j\right)=\frac{d_j}{\pi_j}-\frac{n_j-d_j}{1-\pi_j} \end{align} 尤度方程式 $U \left(\theta\right)=0$ を解くと、パラメータ $\pi_j$ に関する条件付き最尤推定量は、 \begin{gather} d_j \left(1-{\hat{\pi}}_j\right)- \left(n_j-d_j\right){\hat{\pi}}_j=0\\ d_j-d_j{\hat{\pi}}_j-n_j{\hat{\pi}}_j+d_j{\hat{\pi}}_j=0\\ n_j{\hat{\pi}}_j=d_j \end{gather} \begin{align} {\hat{\pi}}_j=p_j=\frac{d_j}{n_j} \quad 1-{\hat{\pi}}_j=q_j=\frac{n_j-d_j}{n_j} \end{align} したがって、生存関数の一般化最尤推定値は $0 \le t \le t_{ \left(J\right)}$ に対して \begin{align} \hat{S} \left(t\right)&=\prod_{j=1}^{J} \left(\frac{n_j-d_j}{n_j}\right)^{I \left[t_{ \left(j\right)} \le t\right]}\\ &=\prod_{j=1}^{J}q_j^{I \left[t_{ \left(j\right)} \le t\right]}\\ &=\prod_{j:t_{ \left(j\right)} \le t} q_j \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.3：生命表のためのカプラン・マイヤー推定量
修正尤度関数は、 \begin{align} L \left(\pi_1,\pi_2, \cdots ,\pi_J\right)=\prod_{j=1}^{J}{\pi_j^{d_j} \left(1-\pi_j\right)^{0.5w_j} \left(1-\pi_j\right)^{r_{j+1}}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\pi_1,\pi_2, \cdots ,\pi_J\right)&=\sum_{j=1}^{J} \left\{d_j\log{\pi_j}+ \left(0.5w_j+r_{j+1}\right)\log{ \left(1-\pi_j\right)}\right\}\\ &=\sum_{j=1}^{J} \left\{d_j\log{\pi_j}+ \left(r_j-d_j-0.5w_j\right)\log{ \left(1-\pi_j\right)}\right\} \end{align} パラメータ $\pi_j$ に関するスコア関数 $U \left(\theta\right)=\frac{\partial}{\partial\theta}l \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} U \left(\pi_j\right)=\frac{d_j}{\pi_j}-\frac{r_j-d_j-0.5w_j}{1-\pi_j} \end{align} 尤度方程式 $U \left(\theta\right)=0$ を解くと、パラメータ $\pi_j$ に関する条件付き最尤推定量は、 \begin{gather} d_j \left(1-{\hat{\pi}}_j\right)- \left(r_j-d_j-0.5w_j\right){\hat{\pi}}_j=0\\ d_j-d_j{\hat{\pi}}_j- \left(r_j-0.5w_j\right){\hat{\pi}}_j+d_j{\hat{\pi}}_j=0\\ \left(r_j-0.5w_j\right){\hat{\pi}}_j=d_j \end{gather} \begin{gather} {\hat{\pi}}_j=p_j=\frac{d_j}{r_j-0.5w_j}\\ 1-{\hat{\pi}}_j=q_j=\frac{r_j-0.5w_j-d_j}{r_j-0.5w_j} \end{gather} $\blacksquare$
問題9.8.4：任意のイベント確率どうしの関係
\begin{gather} E \left(d_j\right)=n_j\pi_j \quad V \left(d_j\right)=n_j\pi_j \left(1-\pi_j\right)\\ E \left(p_j\right)=\pi_j \quad \ V \left(p_j\right)=\frac{\pi_j \left(1-\pi_j\right)}{n_j} \end{gather} 確率変数が独立なとき、共分散の性質より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(p_l,p_k\right)=0 \end{align} このとき、標本比率のベクトル \begin{align} \boldsymbol{p}= \left(\begin{matrix}p_1\\p_2\\\vdots\\p_J\\\end{matrix}\right) \end{align} について、 多変量の中心極限定理より、漸近的に \begin{gather} \boldsymbol{p} \sim \mathrm{\boldsymbol{N}_J} \left(\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\Sigma}\right)\\ \boldsymbol{\pi}= \left(\begin{matrix}\pi_1\\\pi_2\\\vdots\\\pi_J\\\end{matrix}\right)\\ \boldsymbol{\Sigma}= \left(\begin{matrix}\sigma_1^2&0& \cdots &0\\0&\sigma_2^2& \cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0& \cdots &\sigma_J^2\\\end{matrix}\right)\\ \sigma_j^2=\frac{\pi_j \left(1-\pi_j\right)}{n_j} \end{gather} $\blacksquare$
問題9.8.5：推定対数生存関数の分散
ここで、任意の時点 $j$ における対数生存関数について、 \begin{gather} G \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\log{S \left(t\right)}=\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}\\ G \left(\boldsymbol{p}\right)=\log{\hat{S} \left(t\right)}=\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-p_l\right)} \end{gather} と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G \left(\boldsymbol{p}\right)$ を期待値 $E \left(\boldsymbol{p}\right)=\boldsymbol{\pi}$ まわりでテイラー展開すると、偏導関数ベクトルは、 \begin{align} \boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\theta}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_1}\\\vdots\\\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_j}\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\-\frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right) \end{align} 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left[\log{\hat{S} \left(t\right)}\right]\cong\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)} \end{align} \begin{align} V \left[\log{\hat{S} \left(t\right)}\right]&= \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &-\frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\sigma_1^2& \cdots &0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0& \cdots &\sigma_j^2\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\-\frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &-\frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\frac{\pi_1}{n_1}\\\vdots\\-\frac{\pi_j}{n_j}\\\end{matrix}\right]\\ &=\frac{\pi_1}{n_1 \left(1-\pi_1\right)}+ \cdots +\frac{\pi_j}{n_j \left(1-\pi_j\right)}\\ &=\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)} \end{align} この一致推定量は、${\hat{\pi}}_j=p_j$ を代入して、 \begin{align} \hat{V} \left[\log{\hat{S} \left(t\right)}\right]=\sum_{l=1}^{j}\frac{d_l}{n_l \left(1-d_l\right)} \end{align} したがって、漸近的に、 \begin{align} \log{\hat{S} \left(t\right)} \sim N \left[\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)},\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.6：Greenwoodの公式
ここで、任意のイベント時点 $j$ における生存関数について、 \begin{gather} G \left(\boldsymbol{\pi}\right)=S \left(t\right)=\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right)\\ G \left(\boldsymbol{p}\right)=\hat{S} \left(t\right)=\prod_{l=1}^{j} \left(1-p_l\right) \end{gather} と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G \left(\boldsymbol{p}\right)$ を期待値 $E \left(\boldsymbol{p}\right)=\boldsymbol{\pi}$ まわりでテイラー展開すると、偏導関数ベクトルは、 \begin{align} \boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\theta}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_1}\\\vdots\\\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_j}\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)\\\vdots\\-\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\\\end{matrix}\right) \end{align} 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left[\hat{S} \left(t\right)\right]\cong\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right) \end{align} \begin{align} V \left[\hat{S} \left(t\right)\right]&= \left[\begin{matrix}-\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)& \cdots &-\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\sigma_1^2& \cdots &0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0& \cdots &\sigma_j^2\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)\\\vdots\\-\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}-\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)& \cdots &-\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}{n_1}\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)\\\vdots\\-\frac{\pi_i \left(1-\pi_i\right)}{n_i}\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\\\end{matrix}\right]\\ &=\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}{n_1} \left\{\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2+ \cdots +\frac{\pi_j \left(1-\pi_j\right)}{n_j} \left\{\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2\\ &=\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)^2}{n_1 \left(1-\pi_1\right)} \left\{\prod_{l \neq 1} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2+ \cdots +\frac{\pi_j \left(1-\pi_j\right)^2}{n_j \left(1-\pi_j\right)} \left\{\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2\\ &=\frac{\pi_1}{n_1 \left(1-\pi_1\right)} \left\{\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2+ \cdots +\frac{\pi_j}{n_j \left(1-\pi_j\right)} \left\{\prod_{l=1}^{j} \left(1-\pi_l\right)\right\}^2\\ &=\frac{\pi_1}{n_1 \left(1-\pi_1\right)} \left\{S \left(t\right)\right\}^2+ \cdots +\frac{\pi_j}{n_j \left(1-\pi_j\right)} \left\{S \left(t\right)\right\}^2\\ &= \left\{S \left(t\right)\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)}\right\}\\ \end{align} この一致推定量は、$S \left(t\right)=\hat{S} \left(t\right),{\hat{\pi}}_j=p_j$ を代入して、 \begin{align} \hat{V} \left[\hat{S} \left(t\right)\right]= \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{d_l}{n_l \left(n_l-d_l\right)}\right\} \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.7：補対数対数生存関数の分散
ここで、任意のイベント時点 $j$ における生存関数について、 \begin{gather} G \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\log{ \left\{-\log{S \left(t\right)}\right\}}=\log{ \left\{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}\right\}}\\ G \left(\boldsymbol{p}\right)=\log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}}=\log{ \left\{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-p_l\right)}\right\}} \end{gather} と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G \left(\boldsymbol{p}\right)$ を期待値 $E \left(\boldsymbol{p}\right)=\boldsymbol{\pi}$ まわりでテイラー展開すると、偏導関数ベクトルは、 \begin{align} \boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\theta}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_1}\\\vdots\\\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_j}\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right) \end{align} 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left[\log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}}\right]\cong\log{ \left\{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}\right\}} \end{align} \begin{align} V \left[\log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}}\right]&= \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\sigma_1^2& \cdots &0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0& \cdots &\sigma_j^2\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\frac{\pi_1}{n_1} \cdot \frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}}\\\vdots\\\frac{\pi_j}{n_j} \cdot \frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}}\\\end{matrix}\right]\\ &= \left\{\frac{1}{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}}\right\}^2 \left\{\frac{\pi_1}{n_1 \left(1-\pi_1\right)}+ \cdots +\frac{\pi_j}{n_j \left(1-\pi_j\right)}\right\}\\ &= \left\{\frac{1}{\log{S \left(t\right)}}\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)}\right\}\\ \end{align} この一致推定量は、$S \left(t\right)=\hat{S} \left(t\right),{\hat{\pi}}_j=p_j$ を代入して、 \begin{align} \hat{V} \left[\log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}}\right]= \left\{\frac{1}{\log{\hat{S} \left(t\right)}}\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{d_l}{n_l \left(n_l-d_l\right)}\right\} \end{align} したがって、補対数対数生存関数の最尤推定量は、漸近的に \begin{align} \log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}} \sim \mathrm{N} \left[\log{ \left\{\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-\pi_l\right)}\right\}}, \left\{\frac{1}{\log{S \left(t\right)}}\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.8：生存関数の信頼区間
標準正規分布を用いた信頼区間の公式より、 \begin{gather} -Z_{0.5\alpha} \le Z \le Z_{0.5\alpha}\\ -Z_{0.5\alpha} \le \frac{\log{ \left\{-\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}}-\log{ \left\{-\log{S \left(t\right)}\right\}}}{\sigma} \le Z_{0.5\alpha}\\ -Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma \le \log{ \left\{\frac{-\log{\hat{S} \left(t\right)}}{-\log{S \left(t\right)}}\right\}} \le Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma \end{gather} \begin{gather} L=-Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma\\ U=Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma\\ \Lambda \left(t\right)=-\log{S \left(t\right)} \end{gather} とおいて、 逆変換を行うと、 \begin{gather} e^L \le \frac{\hat{\Lambda} \left(t\right)}{\Lambda \left(t\right)} \le e^U\\ e^{-U} \le \frac{\Lambda \left(t\right)}{\hat{\Lambda} \left(t\right)} \le e^{-L}\\ \hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-U} \le \Lambda \left(t\right) \le \hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-L}\\ \hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-U} \le -\log{S \left(t\right)} \le \hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-L}\\ -\hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-L} \le \log{S \left(t\right)} \le -\hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-U}\\ \exp \left\{-\hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-L}\right\} \le S \left(t\right) \le \exp \left\{-\hat{\Lambda} \left(t\right) \cdot e^{-U}\right\}\\ \exp \left\{e^{-L}\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\} \le S \left(t\right) \le \exp \left\{e^{-U}\log{\hat{S} \left(t\right)}\right\}\\ \exp \left\{\log{ \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(-L\right)}}\right\} \le S \left(t\right) \le \exp \left\{\log{ \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(-U\right)}}\right\}\\ \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(-L\right)} \le S \left(t\right) \le \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(-U\right)}\\ \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(-Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma\right)} \le S \left(t\right) \le \left\{\hat{S} \left(t\right)\right\}^{\exp \left(Z_{0.5\alpha} \cdot \sigma\right)} \end{gather} $\blacksquare$
問題9.8.9：生存関数のロジットの分散
ここで、任意のイベント時点 $i$ における生存関数について、 \begin{gather} G \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\log{\frac{S \left(t\right)}{1-S \left(t\right)}}\\ G \left(\boldsymbol{p}\right)=\log{\frac{\hat{S} \left(t\right)}{1-\hat{S} \left(t\right)}} \end{gather} と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G \left(\boldsymbol{p}\right)$ を期待値 $E \left(\boldsymbol{p}\right)=\boldsymbol{\pi}$ まわりでテイラー展開すると、 \begin{align} \frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_i}&=\frac{1-S \left(t\right)}{S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{ \left\{1-S \left(t\right)\right\}^2} \cdot \left\{-\prod_{l \neq j} \left(1-\pi_l\right)\right\}\\ &=-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{ \left(1-\pi_1\right) \cdots \left(1-\pi_{j-1}\right) \left(1-\pi_{j+1}\right) \cdots \left(1-\pi_J\right)}{ \left(1-\pi_1\right) \cdots \left(1-\pi_{j-1}\right) \left(1-\pi_j\right) \left(1-\pi_{j+1}\right) \cdots \left(1-\pi_J\right)}=-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_j} \end{align} よって、偏導関数ベクトルは、 \begin{align} \boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\theta}\right)= \left(\begin{matrix}\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_1}\\\vdots\\\frac{G \left(\boldsymbol{\theta}\right)}{\partial\pi_j}\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right) \end{align} 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left[\log{\frac{\hat{S} \left(t\right)}{1-\hat{S} \left(t\right)}}\right]\cong\log{\frac{S \left(t\right)}{1-S \left(t\right)}} \end{align} \begin{align} V \left[\log{\frac{\hat{S} \left(t\right)}{1-\hat{S} \left(t\right)}}\right]&= \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\sigma_1^2& \cdots &0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0& \cdots &\sigma_j^2\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}\\\vdots\\-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_1}& \cdots &-\frac{1}{1-S \left(t\right)} \cdot \frac{1}{1-\pi_j}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}-\frac{\pi_1}{n_1} \cdot \frac{1}{1-S \left(t\right)}\\\vdots\\-\frac{\pi_j}{n_j} \cdot \frac{1}{1-S \left(t\right)}\\\end{matrix}\right]\\ &= \left\{\frac{1}{1-S \left(t\right)}\right\}^2 \left\{\frac{\pi_1}{n_1 \left(1-\pi_1\right)}+ \cdots +\frac{\pi_j}{n_j \left(1-\pi_j\right)}\right\}\\ &= \left\{\frac{1}{1-S \left(t\right)}\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{\pi_l}{n_l \left(1-\pi_l\right)}\right\} \end{align} この一致推定量は、$S \left(t\right)=\hat{S} \left(t\right),{\hat{\pi}}_j=p_j$ を代入して、 \begin{align} \hat{V} \left[\log{\frac{\hat{S} \left(t\right)}{1-\hat{S} \left(t\right)}}\right]= \left\{\frac{1}{1-\hat{S} \left(t\right)}\right\}^2 \left\{\sum_{l=1}^{j}\frac{d_l}{n_l \left(n_l-d_l\right)}\right\} \end{align} $\blacksquare$
問題9.8.10：Petersonの推定
累積ハザード関数と生存関数の関係 $\Lambda \left(t\right)=-\log{S \left(t\right)}$ より、 \begin{align} \hat{\Lambda} \left(t\right)=-\sum_{l=1}^{j}\log{ \left(1-p_l\right)} \end{align} 累積ハザード関数とハザード関数の関係より、 \begin{gather} \Lambda \left\{t_{ \left(l\right)}\right\}=\sum_{l=1}^{j}{\lambda \left\{t_{ \left(l\right)}\right\} \cdot \left\{t_{ \left(l\right)}-t_{ \left(l-1\right)}\right\}}\\ {\hat{\lambda}}_{\mathrm{KM},j}=\frac{-\log{ \left(1-p_j\right)}}{t_{ \left(j\right)}-t_{ \left(j-1\right)}} \end{gather} $\blacksquare$
問題9.8.11：カプラン・マイヤー推定量とネルソン・アーレン推定量の関係
$\log{ \left(1-\epsilon\right)}\cong-\epsilon$ より、 \begin{align} {\hat{\lambda}}_{\mathrm{KM},j}\cong\frac{- \left(-p_j\right)}{t_{ \left(j\right)}-t_{ \left(j-1\right)}}=\frac{p_j}{t_{ \left(j\right)}-t_{ \left(j-1\right)}} \end{align} \begin{align} {\hat{S}}_{\mathrm{NA}} \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}&=\exp \left[-\sum_{l=1}^{j}p_l\right]\\ &=\prod_{l=1}^{j}e^{-p_l}\\ &=e^{-p_1} \cdot e^{-p_2} \cdot \cdots \cdot e^{-p_j} \end{align} ここで、$e^{-\varepsilon}\cong1-\varepsilon$ より、$\varepsilon=p_j$ として、 \begin{align} e^{-p_j}\cong1-p_j=\frac{n_j-d_j}{n_j} \end{align} したがって、 \begin{align} {\hat{S}}_{\mathrm{NA}} \left\{t_{ \left(j\right)}\right\}=\prod_{l=1}^{j}e^{-p_l}\cong\prod_{l=1}^{j} \left(\frac{n_j-d_j}{n_j}\right)={\hat{S}}_{\mathrm{KM}} \left\{t_{ \left(j\right)}\right\} \end{align} また、$0 \lt x \lt 1$ を満たす任意の $x$ に対して、$1-x \le e^{-x}$ が成り立つので、 \begin{align} {\hat{S}}_{\mathrm{KM}} \left\{t_{ \left(j\right)}\right\} \le {\hat{S}}_{\mathrm{NA}} \left\{t_{ \left(j\right)}\right\} \end{align} すなわち、ネルソン・アーレン推定値は、常にカプラン・マイヤー推定値以上の値を取る。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.564-566
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.464-475
- Kaplan, E.L. & Meier, P.. Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association. 1958;53(282):457-481, doi: https://doi.org/10.2307/2281868
- Peterson, A.V.. Expressing the Kaplan-Meier Estimator as a Function of Empirical Subsurvival Functions. Journal of the American Statistical Association. 1977;72(360):854-858, doi: https://doi.org/10.2307/2286474
- Aalen, O.. Nonparametric Inference for a Family of Counting Processes. The Annals of Statistics. 1978;6(4):701-726, doi: https://www.jstor.org/stable/2958850
- Greenwood, M.. The natural duration of cancer. Reports on Public Health and Medical Subjects. 1926;33:1-26, doi: https://doi.org/10.1136/bmj.2.3320.266
- Gill, R.D.. Censoring and Stochastic Integrals. Amsterdam, Mathematisch Centrum, 1980, 178p.
- Nelson, W.. Theory and Applications of Hazard Plotting for Censored Failure Data. Technometrics. 1972;14(4):945-966, doi: https://doi.org/10.2307/1267144
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