本稿では、導関数と微分を紹介しています。
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平均変化率と微分係数
関数 $f \left(x\right)$ がある区間で定義されているとし、$a \lt b$ をその区間に属する異なる2点とする。そのとき、 \begin{gather} f \left(b\right)-f \left(a\right) \end{gather} は、 $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するときの、関数の値の変化を表し、したがって \begin{gather} \frac{f \left(b\right)-f \left(a\right)}{b-a} \end{gather} は、関数の変化量の、$x$ の変化量に対する割合を表す。 この商を、$a$ と $b$ の間の、または $a$ から $b$ までの関数 $f \left(x\right)$ の平均変化率 mean rate of change という。
図形的には、関数 $y=f \left(x\right)$ のグラフ上の2点 \begin{gather} P \left[a,f \left(a\right)\right] \quad Q \left[b,f \left(b\right)\right] \end{gather} を結ぶ直線の傾きを表している。 平均変化率はまた、しばしば、差分商 difference quotient や ニュートン商 Newton quotient とも呼ばれる。
つぎに、関数 $f \left(x\right)$ が定義されている区間内に1点 $a$ を固定し、$x$ をその区間内の $a$ と異なる任意の点とする。そのとき \begin{gather} \frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a} \end{gather} は、$a$ から $x$ までの関数 $f \left(x\right)$ の平均変化率を表す。 これは、その区間内の $a$ と異なる値 $x$ に対して定義された $x$ の関数である。
もし、$x$ を $a$ に近づけるとき、この平均変化率が有限の極限値 $\alpha$ をもつ、すなわち \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a}}=\alpha \end{gather} となるならば、 $\alpha$ を関数 $f \left(x\right)$ の $x=a$ における変化率 rate of change、または、微分係数 derivative と呼び、記号 \begin{gather} f^\prime \left(a\right) \end{gather} で表す。 すなわち、右辺の極限が存在して、しかも有限であるとき \begin{gather} f^\prime \left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a}} \end{gather} 微分係数 $f^\prime \left(a\right)$ が存在するとき、関数 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において微分可能である differentiable という。
上に書いた微分係数 $f^\prime \left(a\right)$ の定義の式において、 \begin{gather} x-a=h \end{gather} とおけば、 \begin{gather} h \neq 0 \quad x=a+h \end{gather} であり、 $x$ が $a$ に近づくことは、$h$ が $0$ に近づくことと同値となる。よって、上の定義式は \begin{gather} f^\prime \left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}} \end{gather} とも書きかえられる。
なお、より正確には、右微分係数と左微分係数の両係数が存在し、これらが一致する、すなわち \begin{gather} \lim_{h\rightarrow+0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}}=\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}}\\ \lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}}=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(a\right)-f \left(a-h\right)}{h}} \end{gather} のとき微分可能といい、 微分係数が存在しないとき、その関数はその点で微分不能という。
微分可能性と連続性
関数 $f \left(x\right)$ が $x=a$ において微分可能であるとする。そのとき、$x \neq a$ ならば \begin{align} f \left(x\right)&=f \left(x\right)+f \left(a\right)-f(a)\\ &=f \left(a\right)+ \left\{f \left(x\right)-f \left(a\right)\right\}\\ &=f \left(a\right)+\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a} \left(x-a\right) \end{align} 両辺の極限を取ると、 \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}{f \left(x\right)}&=\lim_{x\rightarrow a}{ \left\{f \left(a\right)+\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a} \left(x-a\right)\right\}}\\ &=f \left(a\right)+\lim_{x\rightarrow a}{ \left\{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a} \left(x-a\right)\right\}}\\ \end{align} ここで \begin{align} \lim_{x\rightarrow a}{ \left\{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a} \left(x-a\right)\right\}}=f^\prime \left(a\right) \cdot 0=0 \end{align} したがって、 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{f \left(x\right)}=f \left(a\right) \end{gather} これは、関数 $f \left(x\right)$ が $x=a$ において連続であることを示している。すなわち、次の定理が成り立つ。
関数 $f \left(x\right)$ が $x=a$ において微分可能ならば、$f \left(x\right)$ は $x=a$ において連続である。
ただし、この逆は成り立たず、関数 $f \left(x\right)$ が $x=a$ において連続であっても微分可能であるとは限らない。
片側微分係数
一般に、関数 $f \left(x\right)$ の定義域に属する1点 $a$ において、有限の極限値 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a+0}{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a}}=\lim_{h\rightarrow+0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}} \end{gather} が存在するとき、 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において右側微分可能であるといい、この極限値を $x=a$ における右側微分係数という。
同様に、関数 $f \left(x\right)$ の定義域に属する1点 $a$ において、有限の極限値 \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a-0}{\frac{f \left(x\right)-f \left(a\right)}{x-a}}=\lim_{h\rightarrow-0}{\frac{f \left(a+h\right)-f \left(a\right)}{h}} \end{gather} が存在するとき、 $f \left(x\right)$ は $x=a$ において左側微分可能であるといい、この極限値を $x=a$ における左側微分係数という。
導関数
関数 $f \left(x\right)$ がある区間 $I$ に属するすべての $x$ の値において微分可能であるとき、$f \left(x\right)$ は区間 $I$ において微分可能であるという。$f \left(x\right)$ が区間 $I$ において微分可能ならば、$f \left(x\right)$ はこの区間で連続である。
関数 $f \left(x\right)$ が区間 $I$ において微分可能であるとき、$I$ に属するおのおのの $x$ に、$x$ における微分係数 $f^\prime \left(x\right)$ を対応させれば、$I$ で定義された新しい関数 $f^\prime \left(x\right)$ が得られる。この関数 $f^\prime \left(x\right)$ を $f$ の導関数 derivative と呼ぶ。
一般に、微分可能な関数 $f \left(x\right)$ の導関数 $f^\prime \left(x\right)$ は、 \begin{gather} f^\prime \left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(x+h\right)-f \left(x\right)}{h}} \end{gather} によって求められる。 この式は、微分係数の定義式の $a$ を、単に一般の点 $x$ におきかえただけにすぎない。
導関数の定義式の右辺において、$h$ は $x$ の変化量 $f \left(x+h\right)-f \left(x\right)$ はそれにともなう $y$ の変化量を表している。これらはしばしば、それぞれ、$x$ の増分、$y$ の増分と呼ばれる（増分といっても正の数とは限らないが、独立変数 $x$ の増分は0でない数）。
古典的な記法では、$x$ の増分、$y$ の増分を、それぞれ、記号 \begin{gather} \Delta x \quad \Delta y \end{gather} で表す。 すなわち \begin{gather} \Delta x=h\\ \Delta y=f \left(x+h\right)-f \left(x\right) \end{gather}
関数 $y=f \left(x\right)$ の導関数を表すには、記号 $f^\prime \left(x\right)$ のほかに \begin{gather} y^\prime \quad \frac{dy}{dx} \quad \frac{d}{dx}f \left(x\right) \end{gather} などの記号も用いられる。
関数 $y=f \left(x\right)$ からその導関数 $y^\prime=f^\prime \left(x\right)$ を求めることを $y$ あるいは $f \left(x\right)$ を $x$ について微分するという。
高次導関数
ある区間で定義された関数 $f$ が微分可能ならば、その区間で導関数 $f^\prime$ が定義される。もし、導関数 $f^\prime$ もその区間で微分可能ならば、さらに $f^\prime$ の導関数を定義することができる。それを $f$ の第2次導関数 second derivativeと呼び \begin{gather} f^{\prime\prime} \end{gather} と表す。
関数 $f$ が $y=f \left(x\right)$ と書かれているときには、$f^{\prime\prime}$ はまた、 \begin{gather} y^{\prime\prime} \quad f^{\prime\prime} \left(x\right) \quad \frac{d^2y}{dx^2} \quad \frac{d^2f}{dx^2} \quad \frac{d^2}{dx^2}f \left(x\right) \end{gather} などとも表される。
もちろん、もっと高次の導関数を考えることもできる。すなわち、$f^{\prime\prime}$ に続けて、第3次導関数 $f^{\prime\prime\prime}$、第4次導関数 $f^{\prime\prime\prime\prime}$ などが定義される。一般に、$f$ を $n$ 回徴分して得られる関数を第 $n$ 次導関数 n-th derivativeと呼び、'を $n$ 個並べて書く不便さを避けるために、記号 \begin{gather} f^{ \left(n\right)} \end{gather} と表す。
関数 $f$ が $y=f \left(x\right)$ と書かれているときには、高次導関数は、 \begin{gather} y^{ \left(n\right)} \quad f^{ \left(n\right)} \left(x\right) \quad \frac{d^ny}{dx^n} \quad \frac{d^2f}{dx^2} \quad \frac{d^n}{dx^n}f \left(x\right) \end{gather} などとも表される。
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.830-836
- 微分係数の定義. 高校数学の美しい物語. 2022-10-07. https://manabitimes.jp/math/1964.
- 関数の連続性と微分可能性の意味と関係. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1105.
- 導関数の意味といろいろな例. 高校数学の美しい物語. 2022-10-07. https://manabitimes.jp/math/1425.
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