導関数と微分

本稿では、導関数と微分を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

平均変化率と微分係数

関数 $f\left(x\right)$ がある区間で定義されているとし、$a<b$ をその区間に属する異なる2点とする。そのとき、 $$\begin{array}{c}f\left(b\right)-f\left(a\right)\end{array}$$ は、 $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するときの、関数の値の変化を表し、したがって $$\begin{array}{c}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\end{array}$$ は、関数の変化量の、$x$ の変化量に対する割合を表す。 この商を、$a$ と $b$ の間の、または $a$ から $b$ までの関数 $f\left(x\right)$ の平均変化率 mean rate of change という。

図形的には、関数 $y=f\left(x\right)$ のグラフ上の2点 $$\begin{array}{c}P[a,f\left(a\right)]Q[b,f\left(b\right)]\end{array}$$ を結ぶ直線の傾きを表している。 平均変化率はまた、しばしば、差分商 difference quotient や ニュートン商 Newton quotient とも呼ばれる。

つぎに、関数 $f\left(x\right)$ が定義されている区間内に1点 $a$ を固定し、$x$ をその区間内の $a$ と異なる任意の点とする。そのとき $$\begin{array}{c}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\end{array}$$ は、$a$ から $x$ までの関数 $f\left(x\right)$ の平均変化率を表す。 これは、その区間内の $a$ と異なる値 $x$ に対して定義された $x$ の関数である。

もし、$x$ を $a$ に近づけるとき、この平均変化率が有限の極限値 $\alpha$ をもつ、すなわち $$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\alpha \end{array}$$ となるならば、 $\alpha$ を関数 $f\left(x\right)$ の $x=a$ における変化率 rate of change、または、微分係数 derivative と呼び、記号 $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(a\right)\end{array}$$ で表す。 すなわち、右辺の極限が存在して、しかも有限であるとき $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(a\right)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}\end{array}$$ 微分係数 $f^{\prime }\left(a\right)$ が存在するとき、関数 $f\left(x\right)$ は $x=a$ において微分可能である differentiable という。

上に書いた微分係数 $f^{\prime }\left(a\right)$ の定義の式において、 $$\begin{array}{c}x-a=h\end{array}$$ とおけば、 $$\begin{array}{c}h\ne 0x=a+h\end{array}$$ であり、 $x$ が $a$ に近づくことは、$h$ が $0$ に近づくことと同値となる。よって、上の定義式は $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(a\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\end{array}$$ とも書きかえられる。

なお、より正確には、右微分係数と左微分係数の両係数が存在し、これらが一致する、すなわち $$\begin{array}{c}\underset{h\to +0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=\underset{h\to -0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\\ \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(a\right)-f(a-h)}{h}\end{array}$$ のとき微分可能といい、 微分係数が存在しないとき、その関数はその点で微分不能という。

微分可能性と連続性

関数 $f\left(x\right)$ が $x=a$ において微分可能であるとする。そのとき、$x\ne a$ ならば $$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =f\left(x\right)+f\left(a\right)-f(a)\\ & =f\left(a\right)+\{f\left(x\right)-f\left(a\right)\}\\ & =f\left(a\right)+\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}(x-a)\end{array}$$ 両辺の極限を取ると、 $$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)& =\underset{x\to a}{lim}\{f\left(a\right)+\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}(x-a)\}\\ & =f\left(a\right)+\underset{x\to a}{lim}\left\{\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}(x-a)\right\}\end{array}$$ ここで $$\begin{array}{r}\underset{x\to a}{lim}\left\{\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}(x-a)\right\}=f^{\prime }\left(a\right)\cdot 0=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)\end{array}$$ これは、関数 $f\left(x\right)$ が $x=a$ において連続であることを示している。すなわち、次の定理が成り立つ。

関数 $f\left(x\right)$ が $x=a$ において微分可能ならば、$f\left(x\right)$ は $x=a$ において連続である。

ただし、この逆は成り立たず、関数 $f\left(x\right)$ が $x=a$ において連続であっても微分可能であるとは限らない。

片側微分係数

一般に、関数 $f\left(x\right)$ の定義域に属する1点 $a$ において、有限の極限値 $$\begin{array}{c}\underset{x\to a+0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\underset{h\to +0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\end{array}$$ が存在するとき、 $f\left(x\right)$ は $x=a$ において右側微分可能であるといい、この極限値を $x=a$ における右側微分係数という。

同様に、関数 $f\left(x\right)$ の定義域に属する1点 $a$ において、有限の極限値 $$\begin{array}{c}\underset{x\to a-0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\underset{h\to -0}{lim}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\end{array}$$ が存在するとき、 $f\left(x\right)$ は $x=a$ において左側微分可能であるといい、この極限値を $x=a$ における左側微分係数という。

導関数

関数 $f\left(x\right)$ がある区間 $I$ に属するすべての $x$ の値において微分可能であるとき、$f\left(x\right)$ は区間 $I$ において微分可能であるという。$f\left(x\right)$ が区間 $I$ において微分可能ならば、$f\left(x\right)$ はこの区間で連続である。

関数 $f\left(x\right)$ が区間 $I$ において微分可能であるとき、$I$ に属するおのおのの $x$ に、$x$ における微分係数 $f^{\prime }\left(x\right)$ を対応させれば、$I$ で定義された新しい関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ が得られる。この関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ を $f$ の導関数 derivative と呼ぶ。

一般に、微分可能な関数 $f\left(x\right)$ の導関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ は、 $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\end{array}$$ によって求められる。 この式は、微分係数の定義式の $a$ を、単に一般の点 $x$ におきかえただけにすぎない。

導関数の定義式の右辺において、$h$ は $x$ の変化量 $f(x+h)-f\left(x\right)$ はそれにともなう $y$ の変化量を表している。これらはしばしば、それぞれ、$x$ の増分、$y$ の増分と呼ばれる（増分といっても正の数とは限らないが、独立変数 $x$ の増分は0でない数）。

古典的な記法では、$x$ の増分、$y$ の増分を、それぞれ、記号 $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\end{array}$$ で表す。 すなわち $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x=h\\ \mathrm{\Delta }y=f(x+h)-f\left(x\right)\end{array}$$

関数 $y=f\left(x\right)$ の導関数を表すには、記号 $f^{\prime }\left(x\right)$ のほかに $$\begin{array}{c}{y}^{\prime }\frac{dy}{dx}\frac{d}{dx}f\left(x\right)\end{array}$$ などの記号も用いられる。

関数 $y=f\left(x\right)$ からその導関数 $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)$ を求めることを $y$ あるいは $f\left(x\right)$ を $x$ について微分するという。

高次導関数

ある区間で定義された関数 $f$ が微分可能ならば、その区間で導関数 $f^{\prime }$ が定義される。もし、導関数 $f^{\prime }$ もその区間で微分可能ならば、さらに $f^{\prime }$ の導関数を定義することができる。それを $f$ の第2次導関数 second derivativeと呼び $$\begin{array}{c}{f}^{\prime \prime }\end{array}$$ と表す。

関数 $f$ が $y=f\left(x\right)$ と書かれているときには、$f^{\prime \prime }$ はまた、 $$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }{f}^{\prime \prime }\left(x\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\frac{d^2}{d{x}^2}f\left(x\right)\end{array}$$ などとも表される。

もちろん、もっと高次の導関数を考えることもできる。すなわち、$f^{\prime \prime }$ に続けて、第3次導関数 $f^{\prime \prime \prime }$、第4次導関数 $f^{\prime \prime \prime \prime }$ などが定義される。一般に、$f$ を $n$ 回徴分して得られる関数を第 $n$ 次導関数 n-th derivativeと呼び、'を $n$ 個並べて書く不便さを避けるために、記号 $$\begin{array}{c}{f}^{\left(n\right)}\end{array}$$ と表す。

関数 $f$ が $y=f\left(x\right)$ と書かれているときには、高次導関数は、 $$\begin{array}{c}{y}^{\left(n\right)}{f}^{\left(n\right)}\left(x\right)\frac{d^{n}y}{d{x}^n}\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\frac{d^n}{d{x}^n}f\left(x\right)\end{array}$$ などとも表される。

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.830-836
• 微分係数の定義. 高校数学の美しい物語. 2022-10-07. https://manabitimes.jp/math/1964.
• 関数の連続性と微分可能性の意味と関係. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1105.
• 導関数の意味といろいろな例. 高校数学の美しい物語. 2022-10-07. https://manabitimes.jp/math/1425.

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