本稿では、定積分と不定積分を紹介しています。
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上方和と下方和
$f$ を閉区間 $ \left[a,b\right]$ で定義された関数とし、$f$ はこの区間で連続であるとする。
区間 $ \left[a,b\right]$ の分割とは \begin{gather} a=x_0 \lt x_1 \lt \cdots x_{n-1} \lt x_n=b \end{gather} であるような有限個の点の列 \begin{gather} x_0,x_1, \cdots x_{n-1},x_n \end{gather} を指す。 ここで $n$ は任意の自然数である。
いま、分割を一般に $P$ のような文字で表し、上記の分割をたとえば \begin{gather} P= \left(x_0,x_1, \cdots x_{n-1},x_n\right) \end{gather} のように書く。 分割は必ずしも等分である必要はなく、小区間の幅 \begin{gather} x_1-x_0,x_2-x_1, \cdots ,x_n-x_{n-1} \end{gather} が一定である必要はない。
さて、上のように $f$ を閉区間 $ \left[a,b\right]$ で連続な関数とし、 \begin{gather} P= \left(x_0,x_1, \cdots x_{n-1},x_n\right) \end{gather} を区間 $ \left[a,b\right]$ の1つの分割とする。 小区間 $ \left[x_{k-1},x_k\right]$ における $f$ の最大値、最小値をそれぞれ \begin{gather} \mathrm{max}f \left(x\right)=M_k\\ \mathrm{min}f \left(x\right)=m_k \end{gather} とする。
そのとき、和 \begin{gather} M_1 \left(x_1-x_0\right)+M_2 \left(x_2-x_1\right)+ \cdots +M_n \left(x_n-x_{n-1}\right)\\ m_1 \left(x_1-x_0\right)+m_2 \left(x_2-x_1\right)+ \cdots +m_n \left(x_n-x_{n-1}\right) \end{gather} をそれぞれ、 分割 $P$ に対する $f$ の上方和 upper sum、下方和 lower sum と呼ぶ。ここでは、これらを \begin{gather} U \left(P,f\right)=\sum_{k=1}^{n}{M_k \left(x_k-x_{k-1}\right)}\\ L \left(P,f\right)=\sum_{k=1}^{n}{m_k \left(x_k-x_{k-1}\right)} \end{gather} で表す。
定義によって $m_k \le M_k$ であり、$0 \lt x_k-x_{k-1}$ なので、 \begin{gather} m_k \left(x_k-x_{k-1}\right) \le M_k \left(x_k-x_{k-1}\right) \end{gather} 両辺の $k=1,2, \cdots ,n$ についての和を取ると、 \begin{gather} L \left(P,f\right) \le U \left(P,f\right) \end{gather} すなわち、任意の分割 $P$ に対して下方和は上方和を超えない。
一般に次の定理が成り立つ。
【定理】
積分の存在定理
Existence of Integrals
関数 $f$ を区間 $ \left[a,b\right]$ で連続であるとする。そのとき、任意の下方和 $L \left(P,f\right)$ より大きいかまたは等しく、任意の上方和 $U \left(P,f\right)$ より小さいかまたは等しいような、ただ1つの数が存在する。ただし、ここで文字 $P$ は区間 $ \left[a,b\right]$ の分割を一般的に表す。
上の定理によって確定するただ1つの数のことを、区間 $ \left[a,b\right]$ における $f$ の積分 Integral、または、定積分 definite integral とよび、記号 \begin{gather} \int_{a}^{b}f \quad \int_{a}^{b}f \left(x\right)dx \end{gather} で表す。 $a$ をこの定積分の下端 lower limit、$b$を上端 upper limit と呼ぶ。
定積分の基本性質
【定理】
定積分の基本性質
Basic Properties of Definite Integrals
基本性質①
$f$ を区間 $ \left[a,b\right]$ で連続な関数とする。$m,M$ は定数で、$ \left[a,b\right]$ に属するすべての点 $x$ に対して
\begin{gather}
m \le x \le M
\end{gather}
が成り立つとき
\begin{gather}
m \left(b-a\right) \le \int_{a}^{b}f \left(x\right)dx \le M \left(b-a\right)\tag{1}
\end{gather}
が成り立つ。
基本性質②
$f$ を区間 $ \left[a,b\right]$ で連続な関数とし、$c$ を $a \lt c \lt b$ を満たす任意の数とする。そのとき
\begin{gather}
\int_{a}^{b}f \left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f \left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f \left(x\right)dx\tag{2}
\end{gather}
が成り立つ。
微分と積分の関係
$f$ を区間 $I$ で連続な関数、$a$ を $I$ の1つの定点とする。このとき、$I$ の任意の点 $x$ に対して、積分 \begin{gather} \int_{a}^{x}f \left(t\right)dt \end{gather} が定義される。 これは上端の $x$ によって値が定まるので、$x$ の関数である。この関数を \begin{gather} G \left(x\right)=\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt \end{gather} とおく。 この関数 $G$ について次の定理が成り立つ。
【定理】
微分と積分の関係
Relationship between Derivative and Integration
上記の仮定のもとに、関数 $G$ は区間 $I$ で微分可能で、 \begin{gather} G^\prime \left(x\right)=f \left(x\right) \end{gather} が成り立つ。
証明
$x$ を区間 $I$ の1つの点、$h$ を、$x+h$ がやはり $I$ に属するような、絶対値が十分小さい数とする。命題をいいかえると、 \begin{gather} \lim_{h\rightarrow0}{\frac{G \left(x+h\right)-G \left(x\right)}{h}}=f \left(x\right) \end{gather}
$x$ は区間 $I$ の右端の点ではないと仮定し、$0 \lt h$ とする。関数 $G$ の定義によって、ニュートン商の分子は \begin{gather} G \left(x+h\right)-G \left(x\right)=\int_{a}^{x+h}f \left(t\right)dt-\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt \end{gather} 定積分の基本性質②より、 \begin{gather} \int_{a}^{x+h}f \left(t\right)dt=\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt+\int_{x}^{x+h}f \left(t\right)dt \end{gather} よって、 \begin{align} G \left(x+h\right)-G \left(x\right)&=\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt+\int_{x}^{x+h}f \left(t\right)dt-\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt\\ &=\int_{x}^{x+h}f \left(t\right)dt \end{align} 区間 $ \left[x,x+h\right]$ における $f$ の最大点を $c$、最小点を $d$ とすると、$ \left[x,x+h\right]$ に属する任意の $t$ に対して \begin{gather} f \left(d\right) \le f \left(t\right) \le f \left(c\right) \end{gather} このとき、 \begin{gather} f \left(d\right) \left(x+h-x\right)=f \left(d\right)h\\ f \left(c\right) \left(x+h-x\right)=f \left(c\right)h \end{gather} 定積分の基本性質①より、 \begin{gather} f \left(d\right)h \le \int_{x}^{x+h}f \left(t\right)dt \le f \left(c\right)h \end{gather} 辺々を $0 \lt h$ で割ると、 \begin{gather} f \left(d\right) \le \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f \left(t\right)dt \le f \left(c\right)\\ f \left(d\right) \le \frac{G \left(x+h\right)-G \left(x\right)}{h} \le f \left(c\right) \end{gather} ここで $h$ を $0$ に近づける。そのとき $x+h$ は $x$ に近づき、点 $c,d$ は区間 $ \left[x,x+h\right]$ の点なので、これらも $x$ に近づく。したがって、はさみうちの原理より、 \begin{gather} f \left(x\right) \le \lim_{h\rightarrow0}{\frac{G \left(x+h\right)-G \left(x\right)}{h}} \le f \left(x\right)\\ \lim_{h\rightarrow0}{\frac{G \left(x+h\right)-G \left(x\right)}{h}}=f \left(x\right) \end{gather} $h$ が負で $0$ に近づくときにも、同様にして上の極限の式が成り立つことが証明される。 $\blacksquare$
原始関数
$f$ を区間 $I$ で定義された関数、$F$ を同じく区間 $I$ で定義された関数で、 \begin{gather} F^\prime \left(x\right)=f \left(x\right) \end{gather} が成り立つとき、$F$ を $f$ の原始関数 antiderivative、または、不定積分 indefinite integral と呼ぶ。 任意の関数 $f$ が原始関数をもつとは限らない。しかし、もし $f$ が原始関数 $F$ をもつならば、$C$ を任意の定数として、関数 \begin{gather} G \left(x\right)=F \left(x\right)+C \end{gather} もまた $f$ の原始関数である。 なぜなら、定数の微分は $0$ だからである。
一般に、区間 $I$ で関数 $f$ が原始関数をもつならば、それは、定数の差を除いて一意的に定まる。また、連続関数については、連続関数は必ず原始関数をもつと言える。
実際、$f$ を区間 $I$ で定義された連続な関数とする。そのとき、$a$ を $I$ の1つの定点とし、$I$ の任意の点 $x$ に対して \begin{gather} G \left(x\right)=\int_{a}^{x}f \left(x\right)dx \end{gather} とおけば、微分と積分の関係によって \begin{gather} G^\prime \left(x\right)=f \left(x\right) \end{gather} すなわち、$G$ は $f$ の1つの原始関数となっている。ゆえに上の主張が成り立つ。
微分積分学の基本定理
【定理】
微分積分学の基本定理
Fundamental Theorem of Calculus
$f$ を区間 $I$ で連続な関数、$F$ を $f$ の1つの原始関数とする。そのとき、$I$の任意の2点 $a,b$ に対して \begin{gather} \int_{a}^{b}f \left(x\right)dx=F \left(b\right)-F \left(a\right) \end{gather} が成り立つ。
証明
いま $I$ の2点 $a,b$ が与えられたとして、それらを固定する。そのとき、任意の $x\in I$ に対し、 \begin{gather} G \left(x\right)=\int_{a}^{x}f \left(x\right)dx \end{gather} とおけば、 $G$ は $f$ の1つの原始関数なので、定理に与えられている原始関数 $F$ とこの $G$ との差は定数である。すなわち、$I$ においてつねに \begin{gather} G \left(x\right)=F \left(x\right)+C \end{gather} が成り立つような定数 $C$ が存在する。 この定数 $C$ を決定するために、上の等式において特に $x=a$ とおくと \begin{gather} G \left(a\right)=F \left(a\right)+C \end{gather} ここで、 \begin{gather} G \left(a\right)=\int_{a}^{a}f \left(x\right)dx=0 \end{gather} よって、 \begin{gather} F \left(a\right)+C=0\\ C=-F \left(a\right) \end{gather} したがって \begin{gather} G \left(x\right)=F \left(x\right)-F \left(a\right) \end{gather} この等式は、任意の $x\in I$ に対して成り立つので、上に得た等式で $x=b$ とすると、 \begin{gather} \int_{a}^{b}f \left(x\right)dx=F \left(b\right)-F \left(a\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.983-999
- 定積分. 高校数学の美しい物語. 2022-08-27. https://manabitimes.jp/math/2688.
- 原始関数の定義といろいろな例. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1346.
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