本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.3」の自作解答例です。生存関数のパラメトリックモデル③：加速死亡時間モデルに関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
- 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_{1-\alpha}$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_\alpha$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題9.3.1：ハザード関数
累積ハザード関数とハザード関数の関係 $\lambda \left(t\right)=\frac{d}{dt}\Lambda \left(t\right)$ から、合成関数の微分法より、 \begin{align} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{d}{dt}\Lambda_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}\\ &=\lambda_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \cdot \frac{d}{dt} \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}\\ &=\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &=\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \cdot S_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.2：条件付き分布
累積ハザード関数の式に $t=\exp \left(\frac{y}{\sigma}\right)$ を代入すると、 \begin{align} \Lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\Lambda_0 \left\{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \exp \left(\frac{y}{\sigma}\right)\right\}\\ &=\Lambda_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} 累積ハザード関数とハザード関数の関係 $\lambda \left(t\right)=\frac{d}{dt}\Lambda \left(t\right)$ から、合成関数の微分法より、 \begin{align} \lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{d}{dy}\Lambda_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\lambda_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{d}{dy} \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{d}{dy} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\\ &= \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \lambda_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &= \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \lambda_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot S_0 \left[\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} ここで、 \begin{align} \varepsilon=\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \end{align} とおくと、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)=e^\varepsilon \cdot \lambda_0 \left(\varepsilon\right) \cdot S_0 \left(\varepsilon\right) \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.3：生存関数
生存関数の定義より、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)&=P \left(t \lt t_i\right)\\ &=P \left(\log{t} \lt \log{t_i}\right)\\ &=P \left[\log{ \left\{\exp \left(\frac{y}{\sigma}\right)\right\}} \lt \log{ \left\{\exp \left(\frac{y_i}{\sigma}\right)\right\}}\right]\\ &=P \left(\frac{y}{\sigma} \lt \frac{y_i}{\sigma}\right)\\ &=P \left(\frac{y}{\sigma}-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma} \lt \frac{y_i}{\sigma}-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right)\\ &=P \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \lt \frac{y_i- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right]\\ &=P \left(\varepsilon \lt \varepsilon_i\right) \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.4：ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数
標準ワイブルモデルのハザード関数の式 $\lambda \left(t\right)={\gamma t}^{\gamma-1}$ に加速度因子 $\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\}$ をかけると、 \begin{align} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot {\gamma t}^{\gamma-1} \end{align} 累積ハザード関数 $\Lambda \left(t\right)=\int_{0}^{t}\lambda \left(u\right)du$ は、 \begin{align} \Lambda \left(t\right)&=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\}\int_{0}^{t}{\gamma u^{\gamma-1}du}\\ &=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \left[u^\gamma\right]_0^t\\ &=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot t^\gamma\\ &=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \exp \left(\gamma\log{t}\right)\\ &=\exp \left[ \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}\gamma\right] \end{align} 累積ハザード関数と累積生存関数の関係 $S \left(t\right)=\exp \left\{-\Lambda \left(t\right)\right\}$ より、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\exp \left[-\exp \left[ \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}\gamma\right]\right]\\ &=\exp \left[-\exp \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}^\gamma\right] \end{align} $\gamma=\frac{1}{\sigma}$ を代入すると、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\exp \left[-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.5：イベント密度関数
イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &=\exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot {\gamma t}^{\gamma-1} \cdot \exp \left[-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \exp \left\{ \left(\gamma-1\right)\log{t}\right\} \cdot \exp \left[-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left[- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma+ \left(\gamma-1\right)\log{t}-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left[\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \exp \left(-\log{t}\right) \end{align} 対数変換の公式 $g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、$y=\log{t}$ の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \exp \left(-y\right) \cdot \exp \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.6：残差の密度関数
線形変換の公式 $Y=aX+b\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{ \left|a\right|}$ より、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)&=f \left(\varepsilon\right) \cdot \frac{1}{ \left|\frac{1}{\sigma}\right|}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \exp \left[\varepsilon-\exp \left(\varepsilon\right)\right] \cdot \frac{1}{ \left|\frac{1}{\sigma}\right|}\\ &=\exp \left[\varepsilon-\exp \left(\varepsilon\right)\right]\\ \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.7：指数残差の密度関数
指数変換の公式 $Y=e^X\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\log{y}\right) \cdot \frac{1}{y}$ より、 \begin{align} f \left(w\right)&=\exp \left[\log{w}-\exp \left(\log{w}\right)\right] \cdot \frac{1}{w}\\ &=\exp \left(\log{w}\right) \cdot \exp \left(-w\right) \cdot \frac{1}{w}\\ &=w \cdot e^{-w} \cdot \frac{1}{w}\\ &=e^{-w} \end{align} $\blacksquare$
問題9.3.8：生存関数
指数分布の分布関数は、 \begin{align} F \left(w\right)=1-e^{-w} \end{align} 生存関数は、 \begin{align} S \left(w\right)&=1-F \left(w\right)\\ &=e^{-w}\\ S \left(\varepsilon\right)&=\exp \left[-\exp \left(\varepsilon\right)\right]\\ S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\exp \left[-\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\exp \left[-\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.558-560
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