ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題9.4 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題9.4」の自作解答例です。生存関数のパラメトリックモデル④：対数ロジスティック・モデルに関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題9.4.1：生存関数①

累積ハザード関数 $\Lambda \left(t\right)=\int_{0}^{t}\lambda \left(u\right)du$ は、 \begin{align} \Lambda \left(t\right)&=\int_{0}^{t}{\frac{\mu\gamma u^{\gamma-1}}{1+\mu u^\gamma}du}\\ &= \left[\log{ \left(1+\mu u^\gamma\right)}\right]_0^t\\ &=\log{ \left(1+\mu t^\gamma\right)} \end{align} 累積ハザード関数と生存関数の関係 $S \left(t\right)=\exp \left\{-\Lambda \left(t\right)\right\}$ より、 \begin{align} S \left(t\right)&=\exp \left\{-\log{ \left(1+\mu t^\gamma\right)}\right\}\\ &=\frac{1}{1+\mu t^\gamma} \end{align} イベント累積分布関数の定義 $F \left(t\right)=1-S \left(t\right)$ より、 \begin{align} F \left(t\right)&=1-\frac{1}{1+\mu t^\gamma}\\ &=\frac{\mu t^\gamma}{1+\mu t^\gamma} \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\right)&=\lambda \left(t\right) \cdot S \left(t\right)\\ &=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\mu t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu t^\gamma}\\ &=\frac{\mu{\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left(1+\mu t^\gamma\right)^2} \end{align} $\blacksquare$

問題9.4.2：死亡・生存オッズ比

オッズの定義より、各群の時点 $t$ におけるイベント発生オッズは、$\pi=F_i \left(t\right),i=1,2$ として、 \begin{align} \mathrm{{\rm Od}_1}&=\frac{F_1 \left(t\right)}{1-F_1 \left(t\right)}\\ &=\frac{\mu_1t^\gamma}{1+\mu_1t^\gamma} \cdot \left(1+\mu_1t^\gamma\right)\\ &=\mu_1t^\gamma\\ \mathrm{{\rm Od}_2}&=\frac{F_2 \left(t\right)}{1-F_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{\mu_2t^\gamma}{1+\mu_2t^\gamma} \cdot \left(1+\mu_2t^\gamma\right)\\ &=\mu_2t^\gamma \end{align} したがって、オッズ比の定義より、イベント発生オッズ比は、 \begin{align} \mathrm{{\rm OR}_D}=\frac{\mu_1t^\gamma}{\mu_2t^\gamma}=\frac{\mu_1}{\mu_2} \end{align} 同様に、生存オッズ比は、 \begin{align} \mathrm{{\rm Od}_1}&=\frac{S_1 \left(t\right)}{1-S_1 \left(t\right)}\\ &=\frac{1+\mu_1t^\gamma}{\mu_1t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu_1t^\gamma}\\ &=\frac{1}{\mu_1t^\gamma}\\ \mathrm{{\rm Od}_2}&=\frac{S_2 \left(t\right)}{1-S_2 \left(t\right)}\\ &=\frac{1+\mu_2t^\gamma}{\mu_2t^\gamma} \cdot \frac{1}{1+\mu_2t^\gamma}\\ &=\frac{1}{\mu_2t^\gamma} \end{align} \begin{align} \mathrm{{\rm OR}_S}=\frac{\frac{1}{\mu_1t^\gamma}}{\frac{1}{\mu_2t^\gamma}}=\frac{\mu_2}{\mu_1} \end{align} $\blacksquare$

問題9.4.3：生存関数②

ハザード関数、イベント密度関数、生存関数の式に、$\mu=\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{gather} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{1+\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma}\\ f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left\{1+\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma\right\}^2}\\ S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{1+\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right) \cdot t^\gamma} \end{gather} $\blacksquare$

問題9.4.4：偏回帰係数とオッズ比の関係

オッズ比の式に、$\mu=\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{gather} \mathrm{{\rm OR}_D}=\frac{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{ \left(x_i+1\right)\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{x_i\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}=e^{\beta_i}\\ \mathrm{{\rm OR}_S}=\frac{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{x_i\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}{e^\alpha \cdot e^{x_1\beta_1} \cdot \cdots \cdot e^{ \left(x_i+1\right)\beta_i} \cdot \cdots \cdot e^{x_k\beta_k}}=e^{-\beta_i} \end{gather} $\blacksquare$

問題9.4.5：対数時間のイベント密度関数・生存関数

対数変換の公式 $Y=\log{X}\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、 \begin{align} f \left(y\right)&=\frac{\mu\gamma e^{y \left(\gamma-1\right)}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \cdot e^y\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \end{align} 同様に、ハザード関数は、 \begin{align} \lambda \left(y\right)&=\frac{\mu\gamma e^{y \left(\gamma-1\right)}}{1+\mu e^{y\gamma}} \cdot e^y\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{1+\mu e^{y\gamma}} \end{align} イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} S \left(y\right)&=\frac{f \left(y\right)}{\lambda \left(y\right)}\\ &=\frac{\gamma\mu e^{y\gamma}}{ \left(1+\mu e^{y\gamma}\right)^2} \cdot \frac{1+\mu e^{y\gamma}}{\gamma\mu e^{y\gamma}}\\ &=\frac{1}{1+\mu e^{y\gamma}} \end{align} $\blacksquare$

問題9.4.6：条件付きイベント密度関数

イベント発生の確率密度関数の式に、$\mu=\exp \left(\alpha+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\beta}\right)$ を代入すると、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot {\gamma t}^{\gamma-1}}{ \left\{1+\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t^\gamma\right\}^2}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \exp \left\{ \left(\frac{1}{\sigma}-1\right)\log{t}\right\}}{ \left[1+\exp \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \exp \left\{\frac{1}{\sigma}\log{t}\right\}\right]^2}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\exp \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \exp \left(-\log{t}\right) \end{align} 対数変換の公式 $Y=\log{X}\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \exp \left(-y\right) \cdot \exp \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \end{align} 同様に、ハザード関数は、 \begin{align} \lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \cdot \exp \left(-y\right) \cdot \exp \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \end{align} $\blacksquare$

問題9.4.7：条件付き生存関数

イベント密度関数、ハザード関数、生存関数の関係より、 \begin{align} S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)}{\lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{ \left[1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]^2} \cdot \sigma \cdot \frac{1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}{\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}}\\ &=\frac{1}{1+\exp \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}} \end{align} ＊このことから、比例死亡オッズモデルないしは比例生存オッズモデルのパラメータは、加速死亡時間モデルから得ることができる。 $\blacksquare$

問題9.4.8：残差の確率密度関数

線形変換の公式 $Y=aX+b\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{a}$ より、$\varepsilon$ の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \frac{\exp \left(\varepsilon\right)}{ \left[1+\exp \left(\varepsilon\right)\right]^2} \cdot \sigma\\ &=\frac{e^\varepsilon}{ \left(1+e^\varepsilon\right)^2} \end{align} ＊このことから、対数線形モデルの誤差はロジスティック分布に従い、ハザード関数は対数ロジスティック密度に一致する。 $\blacksquare$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.560-562

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