偏微分と全微分

本稿では、偏微分と全微分を紹介しています。

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偏微分

$x$ の関数 $f(x,b)$ が $x=a$ で微分可能なとき、すなわち $$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\end{array}$$ が存在するとき、 $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で $x$ に関して偏微分可能 partially differentiable という。

また、そのときの極限値を点 $(a,b)$ における $x$ に関する偏微分係数 partial derivative といい $$\begin{array}{c}{f}_x(a,b)\frac{\partial }{\partial x}f(a,b)\end{array}$$ などで表す。

同様に、$y$ の関数 $f(a,y)$ が $y=b$ で微分可能なとき、すなわち $$\begin{array}{c}\underset{y\to b}{lim}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\end{array}$$ が存在するとき、 $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で $y$ に関して偏微分可能という。

また、そのときの極限値を点 $(a,b)$ における $y$ に関する偏微分係数といい $$\begin{array}{c}{f}_y(a,b)\frac{\partial }{\partial y}f(a,b)\end{array}$$ などで表す。

 

偏導関数

$z=f(x,y)$ が定義域 $D\in {\mathit{R}}^2$ の各点で $x$ に関して偏微分可能なとき $$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\end{array}$$ を $x$ に関する偏導関数 partial derivative といい、 $$\begin{array}{c}{f}_x(x,y)\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)z_x\frac{\partial z}{\partial x}\end{array}$$ などで表す。

同様に $$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\\ f_y(x,y)\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)z_y\frac{\partial z}{\partial y}\end{array}$$ を $y$ に関する偏導関数という。 また、偏導関数を求めることを偏微分する differentiate partially という。ある変数について偏微分するとは、他の変数を定数とみて、その変数について微分することと解釈することができる。

$f$ が点 $(a,b)$ で（$x,y$ に関して）偏微分可能ならば $f$ は $x$ の関数として $x=a$ で、$y$ の関数として $y=b$ で連続だが2変数関数として点 $(a,b)$ で連続とは限らない。

 

全微分

ある定数 $l,m$ に対して $$\begin{array}{c}f(x,y)=f(a,b)+l(x-a)+m(y-b)+\epsilon (x,y)\end{array}$$ とおくとき $$\begin{array}{c}\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}\frac{\epsilon (x,y)}{\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}}=0\end{array}$$ が成り立つならば、 $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で全微分可能 totally differentiable、または単に、微分可能であるという。

全微分可能性は点 $(a,b)$ の近傍での $z=f(x,y)$ の値を1次式で近似できること、すなわち、幾何学的には曲面 $z=f(x,y)$ を点 $[a,b,f(a,b)]$ を通る平面で近似できることをいう。

 

全微分可能性と偏微分可能性

 

接平面

曲面 $z=f(x,y)$ 上の点 $A$ を通る平面 $\pi$ について、曲面上の点 $P$ から平面 $\pi$ におろした垂線の足を $H$、$\mathrm{AP}$ と $\mathrm{AH}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\theta \to 0(P\to A)$ ならば、$\pi$ を点 $A$ におけるこの曲面の接平面 tangent plane という。

$z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で全微分可能ならば、点 $[a,b,f(a,b)]$ における曲面 $z=f(x,y)$ の接平面の方程式は $$\begin{array}{c}z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\end{array}$$ で与えられる。

 

高次偏導関数

$z=f(x,y)$ の偏導関数 $f_x,f_y$ が $x$ あるいは $y$ について偏微分可能なとき、$f_x,f_y$ の偏導関数を $z=f(x,y)$ の第2次偏導関数 second partial derivative といい、 $$\begin{array}{c}{f}_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{f}_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\\ f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{f}_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}$$ のように表す。

 

偏微分順序の変更

 

多変数の場合

一般に、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ において 他の変数は定数とみなし、1つの変数 $x_i$ だけに関する導関数 $$\begin{array}{c}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_1,\cdots ,x_i+h,\cdots ,x_n)-f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n)}{h}\end{array}$$ を求めることを $x_i$ で偏微分するという。 また、得られる導関数を $x_i$ に関する偏導関数といい $$\begin{array}{c}{f}_{x_i}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\frac{\partial }{\partial x_i}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ などで表す。

ある定数 $l_1,l_2,\cdots ,l_n$ に対して $$\begin{array}{c}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f(a_1,a_2,\cdots ,a_n)+\sum _{i=1}^n{l}_i(x_i-a_i)+\epsilon (x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ とおくとき $$\begin{array}{c}\underset{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\to (a_1,a_2,\cdots ,a_n)}{lim}\frac{\epsilon (x_1,x_2,\cdots ,x_n)}{\sqrt{{(x_1-a_1)}^2+\cdots +{(x_n-a_n)}^2}}=0\end{array}$$ が成り立つならば、 $f$ は点 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ で全微分可能、または単に、微分可能であるという。

$f$ が全微分可能であるとき $$\begin{array}{c}df(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f_{x_1}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d{x}_1+\cdots +f_{x_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d{x}_n\end{array}$$ を $f$ の全微分という。

 

合成関数の微分法則

 

合成関数の偏微分法則

 

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.163-183

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