偏微分と全微分

本稿では、偏微分と全微分を紹介しています。

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偏微分

$x$ の関数 $f \left(x,b\right)$ が $x=a$ で微分可能なとき、すなわち \begin{gather} \lim_{x\rightarrow a}{\frac{f \left(x,b\right)-f \left(a,b\right)}{x-a}} \end{gather} が存在するとき、 $f \left(x,y\right)$ は点 $ \left(a,b\right)$ で $x$ に関して偏微分可能 partially differentiable という。

また、そのときの極限値を点 $ \left(a,b\right)$ における $x$ に関する偏微分係数 partial derivative といい \begin{gather} f_x \left(a,b\right) \quad \frac{\partial}{\partial x}f \left(a,b\right) \end{gather} などで表す。

同様に、$y$ の関数 $f \left(a,y\right)$ が $y=b$ で微分可能なとき、すなわち \begin{gather} \lim_{y\rightarrow b}{\frac{f \left(a,y\right)-f \left(a,b\right)}{y-b}} \end{gather} が存在するとき、 $f \left(x,y\right)$ は点 $ \left(a,b\right)$ で $y$ に関して偏微分可能という。

また、そのときの極限値を点 $ \left(a,b\right)$ における $y$ に関する偏微分係数といい \begin{gather} f_y \left(a,b\right) \quad \frac{\partial}{\partial y}f \left(a,b\right) \end{gather} などで表す。

 

偏導関数

$z=f \left(x,y\right)$ が定義域 $D\in\boldsymbol{R}^2$ の各点で $x$ に関して偏微分可能なとき \begin{gather} \lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(x+h,y\right)-f \left(x,y\right)}{h}} \end{gather} を $x$ に関する偏導関数 partial derivative といい、 \begin{gather} f_x \left(x,y\right) \quad \frac{\partial}{\partial x}f \left(x,y\right) \quad z_x \quad \frac{\partial z}{\partial x} \end{gather} などで表す。

同様に \begin{gather} \lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(x,y+h\right)-f \left(x,y\right)}{h}}\\ f_y \left(x,y\right) \quad \frac{\partial}{\partial y}f \left(x,y\right) \quad z_y \quad \frac{\partial z}{\partial y} \end{gather} を $y$ に関する偏導関数という。 また、偏導関数を求めることを偏微分する differentiate partially という。ある変数について偏微分するとは、他の変数を定数とみて、その変数について微分することと解釈することができる。

$f$ が点 $ \left(a,b\right)$ で（$x,y$ に関して）偏微分可能ならば $f$ は $x$ の関数として $x=a$ で、$y$ の関数として $y=b$ で連続だが2変数関数として点 $ \left(a,b\right)$ で連続とは限らない。

 

全微分

ある定数 $l,m$ に対して \begin{gather} f \left(x,y\right)=f \left(a,b\right)+l \left(x-a\right)+m \left(y-b\right)+\varepsilon \left(x,y\right) \end{gather} とおくとき \begin{gather} \lim_{ \left(x,y\right)\rightarrow \left(a,b\right)}{\frac{\varepsilon \left(x,y\right)}{\sqrt{ \left(x-a\right)^2+ \left(y-b\right)^2}}}=0 \end{gather} が成り立つならば、 $z=f \left(x,y\right)$ は点 $ \left(a,b\right)$ で全微分可能 totally differentiable、または単に、微分可能であるという。

全微分可能性は点 $ \left(a,b\right)$ の近傍での $z=f \left(x,y\right)$ の値を1次式で近似できること、すなわち、幾何学的には曲面 $z=f \left(x,y\right)$ を点 $ \left[a,b,f \left(a,b\right)\right]$ を通る平面で近似できることをいう。

 

全微分可能性と偏微分可能性

 

接平面

曲面 $z=f \left(x,y\right)$ 上の点 $A$ を通る平面 $\pi$ について、曲面上の点 $P$ から平面 $\pi$ におろした垂線の足を $H$、$\mathrm{AP}$ と $\mathrm{AH}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\theta\rightarrow0 \left(P\rightarrow A\right)$ ならば、$\pi$ を点 $A$ におけるこの曲面の接平面 tangent plane という。

$z=f \left(x,y\right)$ が点 $ \left(a,b\right)$ で全微分可能ならば、点 $ \left[a,b,f \left(a,b\right)\right]$ における曲面 $z=f \left(x,y\right)$ の接平面の方程式は \begin{gather} z=f \left(a,b\right)+f_x \left(a,b\right) \left(x-a\right)+f_y \left(a,b\right) \left(y-b\right) \end{gather} で与えられる。

 

高次偏導関数

$z=f \left(x,y\right)$ の偏導関数 $f_x,f_y$ が $x$ あるいは $y$ について偏微分可能なとき、$f_x,f_y$ の偏導関数を $z=f \left(x,y\right)$ の第2次偏導関数 second partial derivative といい、 \begin{gather} f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \quad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\\ f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \quad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2} \end{gather} のように表す。

 

偏微分順序の変更

 

多変数の場合

一般に、$n$ 変数関数 $f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)$ において 他の変数は定数とみなし、1つの変数 $x_i$ だけに関する導関数 \begin{gather} \lim_{h\rightarrow0}{\frac{f \left(x_1, \cdots ,x_i+h, \cdots ,x_n\right)-f \left(x_1, \cdots ,x_i, \cdots ,x_n\right)}{h}} \end{gather} を求めることを $x_i$ で偏微分するという。 また、得られる導関数を $x_i$ に関する偏導関数といい \begin{gather} f_{x_i} \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right) \quad \frac{\partial}{\partial x_i}f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right) \end{gather} などで表す。

ある定数 $l_1,l_2, \cdots ,l_n$ に対して \begin{gather} f \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)=f \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)+\sum_{i=1}^{n}{l_i \left(x_i-a_i\right)}+\varepsilon \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right) \end{gather} とおくとき \begin{gather} \lim_{ \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)\rightarrow \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)}{\frac{\varepsilon \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)}{\sqrt{ \left(x_1-a_1\right)^2+ \cdots + \left(x_n-a_n\right)^2}}}=0 \end{gather} が成り立つならば、 $f$ は点 $ \left(a_1,a_2, \cdots ,a_n\right)$ で全微分可能、または単に、微分可能であるという。

$f$ が全微分可能であるとき \begin{gather} df \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)=f_{x_1} \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)dx_1+ \cdots +f_{x_n} \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)dx_n \end{gather} を $f$ の全微分という。

 

合成関数の微分法則

 

合成関数の偏微分法則

 

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.163-183

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