順列と組み合わせ

本稿では、順列と組み合わせを紹介しています。

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順列

異なる $n$ 個のものから $r$ 個を取り出して並べる順列の数は、 \begin{gather} {}_{n}P_r=n \left(n-1\right) \cdots \left(n-r+1\right) \end{gather} 通りある。 特に $r=n$ のときは、 \begin{gather} {}_{n}P_n=n \left(n-1\right) \cdots 2 \cdot 1=n! \end{gather}

同じものがあるときの順列

$n$ 個のもののうち、それぞれ $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個…ずつが同じものであるとき、これらを $n$ 個のものを全て並べて得られる順列の数は、 \begin{gather} \frac{n!}{p!q!r! \cdots }\\ p+q+r!+ \cdots =n \end{gather} 通りある。

重複順列

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取った順列の数は、 \begin{gather} {}_{n}\Pi_r=n^r \end{gather} 通りある。

 

組み合わせ

異なる $n$ 個のものから $r$ 個取った組み合わせの数は、 \begin{gather} {}_{n}C_r=\frac{n \left(n-1\right) \cdots \left(n-r+1\right)}{r!}=\frac{n!}{k! \left(n-r\right)!} \end{gather} 通りある。 ただし、 \begin{gather} {}_{n}C_0=1 \quad 0!=1 \end{gather} と定義する。

なお、この組み合わせの数の記号 \begin{gather} {}_{n}C_r \end{gather} のことを二項係数 binomial coefficient と呼ぶ。

二項係数の性質

\begin{gather} {}_{n}C_r={}_{n}C_{n-r} \end{gather}

\begin{gather} {}_{n}C_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r \end{gather}

重複組み合わせ

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取った組み合わせの数は、

\begin{gather} {}_{n}H_r={}_{n+r-1}C_r \end{gather}

 

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.690-711
• 順列と組合せの違いと例題. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1352.
• 重複組合せの公式と例題（玉，整数解の個数）. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1101.

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