順列と組み合わせ

本稿では、順列と組み合わせを紹介しています。

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順列

異なる $n$ 個のものから $r$ 個を取り出して並べる順列の数は、 $$\begin{array}{c}{}_n{P}_r=n(n-1)\cdots (n-r+1)\end{array}$$ 通りある。 特に $r=n$ のときは、 $$\begin{array}{c}{}_n{P}_n=n(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!\end{array}$$

同じものがあるときの順列

$n$ 個のもののうち、それぞれ $p$ 個、$q$ 個、$r$ 個…ずつが同じものであるとき、これらを $n$ 個のものを全て並べて得られる順列の数は、 $$\begin{array}{c}\frac{n!}{p!q!r!\cdots }\\ p+q+r!+\cdots =n\end{array}$$ 通りある。

重複順列

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取った順列の数は、 $$\begin{array}{c}{}_n{\mathrm{\Pi }}_r=n^r\end{array}$$ 通りある。

 

組み合わせ

異なる $n$ 個のものから $r$ 個取った組み合わせの数は、 $$\begin{array}{c}{}_n{C}_r=\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{k!(n-r)!}\end{array}$$ 通りある。 ただし、 $$\begin{array}{c}{}_n{C}_0=10!=1\end{array}$$ と定義する。

なお、この組み合わせの数の記号 $$\begin{array}{c}{}_n{C}_r\end{array}$$ のことを二項係数 binomial coefficient と呼ぶ。

二項係数の性質

$$\begin{array}{c}{}_n{C}_r={}_n{C}_{n-r}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{}_n{C}_r={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_r\end{array}$$

重複組み合わせ

異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個取った組み合わせの数は、

$$\begin{array}{c}{}_n{H}_r={}_{n+r-1}{C}_r\end{array}$$

 

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.690-711
• 順列と組合せの違いと例題. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1352.
• 重複組合せの公式と例題（玉，整数解の個数）. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1101.

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• 二項定理・多項定理