指数分布モデルと二重同次ポアソンモデルの関係

各被験者の観察期間を $U_i=S-r_j$ とすると、 \begin{align} U_i \sim \mathrm{U} \left[S-R,S\right] \end{align} ここで、$i$ 番目の被験者でイベントが観察されない確率は、登録時点の決定とイベントの発生が独立であることから、 登録時間が $r_i$ となる確率
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観察期間 $U_i=S-r_i$ 中にイベントが観察されない確率 \begin{align} P \left(R_i=r_i,\delta_i=0\right)&=P \left(R_i=r_i\right) \cdot S \left(u\right)\\ &=\frac{1}{R} \cdot e^{-\lambda u} \end{align} したがって、$P \left(\delta=0\right)$ は周辺確率の定義 $f \left(x\right)=P \left(X=x\right)=\int_{y=-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、 \begin{align} P \left(\delta=0\right)&=\int_{S-R}^{S}{\frac{1}{R} \cdot e^{-\lambda u}du}\\ &=\frac{1}{R} \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda u}\right]_{S-R}^S\\ &=\frac{e^{-\lambda \left(S-R\right)}-e^{-\lambda S}}{\lambda R}\\ P \left(\delta=1\right)&=1-P \left(\delta=0\right)\\ &=1-\frac{e^{-\lambda \left(S-R\right)}-e^{-\lambda S}}{\lambda R} \end{align} 離散型確率変数の期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(\delta\middle|\lambda\right)&=0 \cdot P \left(\delta=0\right)+1 \cdot P \left(\delta=1\right)\\ &=1-\frac{e^{-\lambda \left(S-R\right)}-e^{-\lambda S}}{\lambda R} \end{align} $\blacksquare$

同様に、打ち切りもイベントも発生しない確率は、登録時点の決定とイベントの発生、打ち切りの発生が独立であることから、 \begin{align} P \left(R_i=r_i,\delta_i=0,\gamma_i=0\right)&=P \left(R_i=r_i\right) \cdot S \left(u\right) \cdot \Sigma \left(u\right)\\ &=\frac{1}{R} \cdot e^{-\lambda u} \cdot e^{-\eta u}\\ &=\frac{1}{R} \cdot e^{- \left(\lambda+\eta\right)u} \end{align} $P \left(\delta_i=0,\gamma_i=0\right)$ は周辺確率の定義 $f \left(x\right)=P \left(X=x\right)=\int_{y=-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、 \begin{align} P \left(\delta=0,\gamma=0\right)&=\int_{S-R}^{S}{\frac{1}{R} \cdot e^{- \left(\lambda+\eta\right)u}du}\\ &=\frac{1}{R} \left[-\frac{1}{\lambda+\eta}e^{- \left(\lambda+\eta\right)u}\right]_{S-R}^S\\ &=\frac{e^{- \left(\lambda+\eta\right) \left(S-R\right)}-e^{- \left(\lambda+\eta\right)S}}{ \left(\lambda+\eta\right)T_R} \end{align} したがって、観察期間中、打ち切りかイベントのいずれかが発生する（予定されている研究終了時点よりも前に観察が終わる）確率は、 \begin{align} P \left(\delta=1,\gamma=0\right)+P \left(\delta=0,\gamma=1\right)&=1-P \left(\delta=0,\gamma=0\right)\\ &=1-\frac{e^{- \left(\lambda+\eta\right) \left(S-R\right)}-e^{- \left(\lambda+\eta\right)S}}{ \left(\lambda+\eta\right)R} \end{align} このうち、打ち切りが起こる確率とイベントが観察される確率は、全体のハザード（観察を終わせる要因）のうち、それぞれが占める割合となるので、 \begin{gather} P \left(\delta=1\right)=E \left(\delta\middle|\lambda,\eta\right)=\frac{\lambda}{\lambda+\eta} \left[1-\frac{e^{- \left(\lambda+\eta\right) \left(S-R\right)}-e^{- \left(\lambda+\eta\right)S}}{ \left(\lambda+\eta\right)R}\right]\\ P \left(\gamma=1\right)=E \left(\gamma\middle|\lambda,\eta\right)=\frac{\eta}{\lambda+\eta} \left[1-\frac{e^{- \left(\lambda+\eta\right) \left(S-R\right)}-e^{- \left(\lambda+\eta\right)S}}{ \left(\lambda+\eta\right)R}\right] \end{gather} $\blacksquare$