ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』問題8.7 解答例-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』問題8.7 解答例

公開日： 2022/12/02

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題8.7」の一部に対する自作解答例です。ポアソン回帰分析に必要なサンプルサイズと検出力に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。

問題8.7.0：効果量・有意水準・検出力の関係式（ポアソンモデル）

2重同次ポアソンモデルの仮定より、 $\begin{array}{r} E (d_{i j}) = V (d_{i j}) = λ_{i} t_{i j} \end{array}$ 期待値の性質より、 $\begin{aligned} E (d_{i ∙}) & = E (\sum_{j = 1}^{n_{i}} d_{i j}) \\ = E (\sum_{l = 1}^{n_{i}} λ_{i} t_{i j}) \\ = λ_{i} E (\sum_{l = 1}^{n_{i}} t_{i j}) \\ = λ_{i} \cdot t_{i ∙} \end{aligned}$ ポアソン分布の正規近似により、漸近的に、 $\begin{array}{r} d_{i ∙} \sim N (λ_{i} \cdot t_{i ∙}, λ_{i} \cdot t_{i ∙}) \end{array}$ パラメータ $λ_{i}$ の最尤推定量 ${\hat{λ}}_{i} = \frac{d_{i ∙}}{t_{i ∙}}$ について、期待値と分散の性質より $\begin{aligned} E ({\hat{λ}}_{i}) & = E (\frac{d_{i ∙}}{t_{i ∙}}) \\ = \frac{λ_{i} \cdot t_{i ∙}}{t_{i ∙}} \\ = λ_{i} \\ V ({\hat{λ}}_{i}) & = V (\frac{d_{i ∙}}{t_{i ∙}}) \\ = \frac{λ_{i} \cdot t_{i ∙}}{t_{i ∙}^{2}} \\ = \frac{λ_{i}}{t_{i ∙}} \end{aligned}$ したがって、漸近的に、 $\begin{array}{r} {\hat{λ}}_{1} \sim N (λ_{1}, \frac{λ_{1}}{t_{1 ∙}}) {\hat{λ}}_{2} \sim N (λ_{2}, \frac{λ_{2}}{t_{2 ∙}}) \end{array}$ 最尤推定量の差を $\hat{δ} = {\hat{λ}}_{1} - {\hat{λ}}_{2}$ とすると、正規分布の再生性より、 $\begin{array}{r} {\hat{δ}}_{1} \sim N (λ_{1} - λ_{2}, \frac{λ_{1}}{t_{1 ∙}} + \frac{λ_{2}}{t_{2 ∙}}) \end{array}$ 帰無仮説 $H_{0} : λ_{1} = λ_{2} = λ$ のもとでは、 $\begin{array}{r} {\hat{δ}}_{0} \sim N [0, λ (\frac{t_{1 ∙} + t_{2 ∙}}{t_{1 ∙} t_{2 ∙}})] \end{array}$ 臨床的有意差・有意水準・検出力の関係式より、 $\begin{matrix} | δ_{1} - δ_{0} | = Z_{α} \cdot σ_{0} - Z_{1 - β} \cdot σ_{1} \\ | λ_{1} - λ_{2} | = Z_{α} \cdot \sqrt{λ (\frac{t_{1 ∙} + t_{2 ∙}}{t_{1 ∙} t_{2 ∙}})} - Z_{1 - β} \cdot \sqrt{\frac{λ_{1}}{t_{1 ∙}} + \frac{λ_{2}}{t_{2 ∙}}} \end{matrix}$ したがって、2つのグループ間の率の差に対する $Z$ 検定の検出力は、曝露の合計患者年数の関数である。
また、 $E (d_{i ∙}) = λ_{i} \cdot t_{i ∙}$ より、 $\begin{aligned} σ_{0}^{2} & = \frac{λ}{t_{1 ∙}} + \frac{λ}{t_{2 ∙}} \\ = \frac{λ^{2}}{λ t_{1 ∙}} + \frac{λ^{2}}{λ t_{2 ∙}} \\ = \frac{λ^{2}}{E (d_{1 ∙})} + \frac{λ^{2}}{E (d_{2 ∙})} \\ = λ^{2} {\frac{E (d_{1 ∙}) + E (d_{2 ∙})}{E (d_{1 ∙}) E (d_{2 ∙})}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} σ_{1}^{2} & = \frac{λ_{1}}{t_{1 ∙}} + \frac{λ_{2}}{t_{2 ∙}} \\ = \frac{λ_{1}^{2}}{λ_{1} t_{1 ∙}} + \frac{λ_{2}^{2}}{λ_{2} t_{2 ∙}} \\ = \frac{λ_{1}^{2}}{E (d_{1 ∙})} + \frac{λ_{2}^{2}}{E (d_{2 ∙})} \end{aligned}$ したがって、 $\begin{array}{r} | λ_{1} - λ_{2} | = Z_{α} \cdot \sqrt{λ^{2} {\frac{E (d_{1 ∙}) + E (d_{2 ∙})}{E (d_{1 ∙}) E (d_{2 ∙})}}} - Z_{1 - β} \cdot \sqrt{\frac{λ_{1}^{2}}{E (d_{1 ∙})} + \frac{λ_{2}^{2}}{E (d_{2 ∙})}} \end{array}$ すなわち、2つのグループ間の率の差に対する $Z$ 検定の検出力は、各グループの期待事象数の関数でもある。 $◼$