本稿では、生存時間分布のパラメトリックモデルのひとつである加速死亡時間モデルについて重要事項をまとめています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
生存時間分布の加速死亡時間モデル
生有者が任意の割合となるまでの時間が、共変量ベクトル $\boldsymbol{X}$ と係数ペクトル $\widetilde{\boldsymbol{\beta}}$ のある関数により加速、もしくは減速することを仮定し、特定の生存関数 $S_0 \left(t\right)$ に対して、共変量ベクトル $\boldsymbol{x}$ をもつ患者に対する生存関数と累積ハザード関数が、スケールパラメータ $\sigma$ と共変量ベクトルの値 $\boldsymbol{x}$ により定義される、変換された加速死亡時間
\begin{align}
{\widetilde{t}}_x=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right)
\end{align}
を用いて
\begin{gather}
S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=S_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}=S_0 \left({\widetilde{t}}_x\right)\\
\Lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\Lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}
\end{gather}
となるモデルを
加速死亡時間モデル accelerated failure time models と呼ぶ。
ハザード関数とイベント密度関数は、
\begin{gather}
\lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}\\
f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \cdot S_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}
\end{gather}
で与えられる。
証明：ハザード関数
累積ハザード関数とハザード関数の関係 $\lambda \left(t\right)=\frac{d}{dt}\Lambda \left(t\right)$ から、合成関数の微分法より、 \begin{align} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{d}{dt}\Lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}\\ &=\lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \cdot \frac{d}{dt} \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\}\\ &=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &=\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \cdot S_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot t\right\} \end{align} $\blacksquare$
【定理】残差分布と生存関数
【定理】
残差分布と生存関数
Residual Distribution and Survival Function
生有者が任意の割合となるまでの時間について、 \begin{align} \frac{y}{\sigma}=\log{t}\Leftrightarrow t=\mathrm{exp} \left(\frac{y}{\sigma}\right) \end{align} を仮定する。 ハザード関数 $\lambda_0 \left(t\right)$ と対応する生存関数 $S_0 \left(t\right)$ をもつ、任意の分布を与え、$\boldsymbol{x}$ を与えたもとでの $Y$ の条件付き分布は、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)= \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot S_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} このとき、 \begin{align} \varepsilon=\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \end{align} とおくと、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)=e^\varepsilon \cdot \lambda_0 \left(\varepsilon\right) \cdot S_0 \left(\varepsilon\right) \end{align} が成り立ち、 残差分布 $f \left(\varepsilon\right)$ をもつ線形モデル \begin{align} y_i=\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}+\varepsilon_i\sigma \end{align} を適用することができる。 また、生存関数は、残差分布の分布関数と等しい。 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)=P \left(\varepsilon \lt \varepsilon_i\right) \end{align}
証明：条件付き分布
累積ハザード関数の式に $t=\mathrm{exp} \left(\frac{y}{\sigma}\right)$ を代入すると、 \begin{align} \Lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\Lambda_0 \left\{\mathrm{exp} \left(-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\frac{y}{\sigma}\right)\right\}\\ &=\Lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} 累積ハザード関数とハザード関数の関係 $\lambda \left(t\right)=\frac{d}{dt}\Lambda \left(t\right)$ から、合成関数の微分法より、 \begin{align} \lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{d}{dy}\Lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{d}{dy} \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{d}{dy} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\\ &= \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &= \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \frac{1}{\sigma} \cdot \lambda_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot S_0 \left[\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} ここで、 \begin{align} \varepsilon=\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \end{align} とおくと、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)=e^\varepsilon \cdot \lambda_0 \left(\varepsilon\right) \cdot S_0 \left(\varepsilon\right) \end{align} $\blacksquare$
証明：生存関数
生存関数の定義より、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)&=P \left(t \lt t_i\right)\\ &=P \left(\log{t} \lt \log{t_i}\right)\\ &=P \left[\log{ \left\{\mathrm{exp} \left(\frac{y}{\sigma}\right)\right\}} \lt \log{ \left\{\mathrm{exp} \left(\frac{y_i}{\sigma}\right)\right\}}\right]\\ &=P \left(\frac{y}{\sigma} \lt \frac{y_i}{\sigma}\right)\\ &=P \left(\frac{y}{\sigma}-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma} \lt \frac{y_i}{\sigma}-\frac{\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}}{\sigma}\right)\\ &=P \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma} \lt \frac{y_i- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right]\\ &=P \left(\varepsilon \lt \varepsilon_i\right) \end{align} $\blacksquare$
【定理】ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数：導出法①
【定理】
ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数：導出法①
Survival Function of Weibull Accelerated Life Models
$\mu=1$ をもつ標準ワイブルモデル \begin{align} \lambda \left(t\right)={\gamma t}^{\gamma-1} \end{align} において、 共変量ベクトル $\boldsymbol{x}$ をもつ被験者に対して、加速死亡時間変換を用いることで、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left[ \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}\gamma\right]\right]\\ &=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ \end{align} \begin{align} \gamma=\frac{1}{\sigma} \end{align}
証明：ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数
標準ワイブルモデルのハザード関数の式 $\lambda \left(t\right)={\gamma t}^{\gamma-1}$ に加速度因子 $\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\}$ をかけると、 \begin{align} \lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot {\gamma t}^{\gamma-1} \end{align} 累積ハザード関数 $\Lambda \left(t\right)=\int_{0}^{t}\lambda \left(u\right)du$ は、 \begin{align} \Lambda \left(t\right)&=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\}\int_{0}^{t}{\gamma u^{\gamma-1}du}\\ &=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \left[u^\gamma\right]_0^t\\ &=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot t^\gamma\\ &=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \mathrm{exp} \left(\gamma\log{t}\right)\\ &=\mathrm{exp} \left[ \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}\gamma\right] \end{align} 累積ハザード関数と累積生存関数の関係 $S \left(t\right)=\mathrm{exp} \left\{-\Lambda \left(t\right)\right\}$ より、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left[ \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}\gamma\right]\right]\\ &=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\right\}^\gamma\right] \end{align} $\gamma=\frac{1}{\sigma}$ を代入すると、 \begin{align} S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
【定理】ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数：導出法②
【定理】
ワイブル加速死亡時間モデルの生存関数：導出法②
Survival Function of Weibull Accelerated Life Models
率パラメータが共変量ベクトル $\boldsymbol{X}$ の関数として
\begin{align}
\mu=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \quad \gamma=\frac{1}{\sigma}
\end{align}
と表されると仮定する。
〔1〕対数時間の確率密度関数
このとき、$y=\log{t}$ の確率密度関数は、
\begin{align}
f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)=\frac{1}{\sigma}\mathrm{exp} \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]
\end{align}
〔2〕スケール化された残差の確率密度関数
スケール化された残差を
\begin{gather}
\varepsilon=\frac{y-E \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)}{\sigma}\\
E \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)=\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}
\end{gather}
とすると、
残差の確率密度関数は、
\begin{align}
f \left(\varepsilon\right)=\mathrm{exp} \left[\varepsilon-\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)\right]
\end{align}
〔3〕残差の指数の確率密度関数
\begin{align}
w=e^\varepsilon
\end{align}
とすると、
\begin{align}
f \left(w\right)=e^{-w}
\end{align}
〔4〕生存関数
変数を戻していくと、
\begin{align}
S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]
\end{align}
証明：イベント密度関数
イベント発生の確率密度関数、ハザード関数、累積生存関数の関係より、 \begin{align} f \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\lambda \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right) \cdot S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)\\ &=\mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot {\gamma t}^{\gamma-1} \cdot \mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left\{- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma\right\} \cdot \mathrm{exp} \left\{ \left(\gamma-1\right)\log{t}\right\} \cdot \mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left[- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)\gamma+ \left(\gamma-1\right)\log{t}-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left[\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \mathrm{exp} \left(-\log{t}\right) \end{align} 対数変換の公式 $g \left(y\right)=f \left(e^y\right) \cdot e^y$ より、$y=\log{t}$ の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \cdot \mathrm{exp} \left(-y\right) \cdot \mathrm{exp} \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left[\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
証明：残差の密度関数
線形変換の公式 $Y=aX+b\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{ \left|a\right|}$ より、 \begin{align} f \left(\varepsilon\right)&=f \left(\varepsilon\right) \cdot \frac{1}{ \left|\frac{1}{\sigma}\right|}\\ &=\frac{1}{\sigma} \cdot \mathrm{exp} \left[\varepsilon-\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)\right] \cdot \frac{1}{ \left|\frac{1}{\sigma}\right|}\\ &=\mathrm{exp} \left[\varepsilon-\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)\right]\\ \end{align} $\blacksquare$
証明：指数残差の密度関数
指数変換の公式 $Y=e^X\Leftrightarrow g \left(y\right)=f \left(\log{y}\right) \cdot \frac{1}{y}$ より、 \begin{align} f \left(w\right)&=\mathrm{exp} \left[\log{w}-\mathrm{exp} \left(\log{w}\right)\right] \cdot \frac{1}{w}\\ &=\mathrm{exp} \left(\log{w}\right) \cdot \mathrm{exp} \left(-w\right) \cdot \frac{1}{w}\\ &=w \cdot e^{-w} \cdot \frac{1}{w}\\ &=e^{-w} \end{align} $\blacksquare$
証明：生存関数
指数分布の分布関数は、 \begin{align} F \left(w\right)=1-e^{-w} \end{align} 生存関数は、 \begin{align} S \left(w\right)&=1-F \left(w\right)\\ &=e^{-w}\\ S \left(\varepsilon\right)&=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left(\varepsilon\right)\right]\\ S \left(y\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{y- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right]\\ S \left(t\middle|\boldsymbol{x}\right)&=\mathrm{exp} \left[-\mathrm{exp} \left\{\frac{\log{t}- \left(\widetilde{\alpha}+\boldsymbol{x}^\boldsymbol{T}\widetilde{\boldsymbol{\beta}}\right)}{\sigma}\right\}\right] \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.558-560
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