行列式-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

本稿では、行列式を紹介しています。

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順列

$1$ から $n$ までの自然数 $1, 2, \dots, n$ を適当な順番で横一列に並べた $\begin{matrix} (\begin{matrix} p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$ を長さ $n$ の順列という。

順列の転倒数

$1$ から $n$ までの自然数を左から小さい順に並べた長さ $n$ の順列 $\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) \end{matrix}$ では、その中のどの2つの数字を取り出しても必ず右の数字の方が大きい。

一般に、長さ $n$ の順列において、2つの数字を取り出したとき、右の数字の方が小さいならばその2つの数字のペアは転倒しているという。すなわち、左から $i$ 番目と $j$ 番目にある2つの数字 $p_{i}$ と $p_{j}$ を取り出すとき $i < j$ であるのに、 $p_{i} > p_{j}$ であるならば、 $p_{i}$ と $p_{j}$ は転倒している。長さ $n$ の順列の中にある転倒しているペアの総数をその順列の転倒数 inversion number という。

順列の符号

転倒数が $r$ の順列に対して $\begin{matrix} {(- 1)}^{r} \end{matrix}$ を順列の符号sign of a permutation といい、 $\begin{matrix} ε (\begin{matrix} p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$ で表す。

2つの数字を入れ替えた順列の符号

【命題】
2つの数字を入れ替えた順列の符号

2つの数字 $p_{i}$ と $p_{j}$ を入れ替えると。順列の符号が変わる、すなわち $\begin{matrix} ε (\begin{matrix} \dots & p_{i} & \dots & p_{j} & \dots \end{matrix}) = - ε (\begin{matrix} \dots & p_{j} & \dots & p_{i} & \dots \end{matrix}) \end{matrix}$

行列式の定義

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ から定まる数 $\begin{matrix} \sum sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{matrix}) a_{1 p_{1}} \cdot a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}} \\ \sum_{(p_{1}, \dots, p_{n})} ε (\begin{matrix} p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{matrix}) a_{1 p_{1}} \cdot a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}} \end{matrix}$ を $A$ の行列式 determinant といい、 $\begin{matrix} D (A) \det (A) \det A \\ | A | | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$ などの記号で表す。

ここで、 $\begin{matrix} \sum_{(p_{1}, \dots, p_{n})} ε (\begin{matrix} p_{1} & p_{2} & \dots & p_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$ は長さ $n$ のすべての順列についての和を表す。

1次の行列式

1次の正方行列 $\begin{matrix} A = a_{1} \end{matrix}$ の行列式は数 $a_{1}$ 自身である。

2次の行列式

2次正方行列 $\begin{matrix} A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \end{matrix}$ の行列式は $\begin{aligned} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | & = ε (\begin{array}{c} 1 & 2 \end{array}) a_{11} a_{22} + ε (\begin{array}{c} 2 & 1 \end{array}) a_{12} a_{21} \\ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{aligned}$

3次の行列式

3次正方行列 $\begin{matrix} A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \end{matrix}$ の行列式は $\begin{aligned} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = & ε (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) a_{11} a_{22} a_{33} + ε (\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 \end{array}) a_{11} a_{23} a_{32} \\ + ε (\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \end{array}) a_{12} a_{21} a_{33} + ε (\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \end{array}) a_{12} a_{23} a_{31} \\ + ε (\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}) a_{13} a_{21} a_{32} + ε (\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \end{array}) a_{13} a_{22} a_{31} \\ = & a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned}$

行列式の基本性質

以下、 $n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ の行ベクトル分割と列ベクトル分割を $\begin{matrix} A = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) A = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$ とし、行列式の性質を調べる。

多重線形性

【定理】
多重線形性
Multicollinearity

① 1つの行、あるいは列成分を2数の和で表す（例えば、 $a_{i} = b_{i} + c_{i}$ ）ならば $\begin{matrix} | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ b_{i 1} + c_{i 1} & \dots & b_{i n} + c_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | = | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ b_{i 1} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | + | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ c_{i 1} & \dots & c_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | \\ | \begin{matrix} \dots & b_{i} + c_{i} & \dots \end{matrix} | = | \begin{matrix} \dots & b_{i} & \dots \end{matrix} | + | \begin{matrix} \dots & c_{i} & \dots \end{matrix} | \end{matrix}$ ② 1つの行、あるいは列から共通の数をくくり出せる、例えば、 $a_{i} = c b_{i}$ ならば $\begin{matrix} | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ c b_{i 1} & \dots & c b_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | = c | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ b_{i 1} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | \\ | \begin{matrix} \dots & c b_{i} & \dots \end{matrix} | = c | \begin{matrix} \dots & b_{i} & \dots \end{matrix} | \end{matrix}$

交代性

【定理】
交代性
Alternativity

2つの行、あるいは列を入れ替えると、行列式の値は符号が変わる、すなわち、 $\begin{matrix} | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{i 1} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{j 1} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | = - | \begin{matrix} ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{j 1} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{i 1} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \end{matrix} | \\ | \begin{matrix} \dots & a_{i} & \dots & a_{j} & \dots \end{matrix} | = - | \begin{matrix} \dots & a_{j} & \dots & a_{i} & \dots \end{matrix} | \end{matrix}$

値が0になる行列式

【定理】
値が0になる行列式
Alternativity

① 1つの行、あるいは成分がすべて0ならば、行列式の値は0である、すなわち $\begin{matrix} a_{i} = 0 \Rightarrow | A | = 0 \end{matrix}$ ② 2つの行、あるいはが等しいならば、行列式の値は0である、すなわち $\begin{matrix} a_{i} = a_{j} (i \neq j) \Rightarrow | A | = 0 \end{matrix}$ ③ 2つの行、あるいはが比例していれば、行列式の値は0である、すなわち $\begin{matrix} a_{i} = c a_{j} (i \neq j) \Rightarrow | A | = 0 \end{matrix}$

転置と積の行列式

積の行列式

【定理】
積の行列式
Determinant of Matrix Product

$A, B$ を同じ次数の正方行列とするとき $\begin{matrix} | A B | = | A | \cdot | B | \end{matrix}$

行列式による正則性の判定

【定理】
行列式による正則性の判定
Regularity of a Matrix and Determinant

正方行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $\begin{matrix} | A | \neq 0 \end{matrix}$ である。また、このとき $\begin{matrix} | A^{- 1} | = \frac{1}{| A |} \end{matrix}$

転置の行列式

【定理】
転置の行列式
Determinant of Transpose

任意の正方行列 $A$ に対して $\begin{matrix} | A^{T} | = | A | \end{matrix}$

行列式の展開

余因子

2次以上の $n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いてできる $n - 1$ 次正方行列の行列式を ${(- 1)}^{i + j}$ 倍した数 $\begin{matrix} {\tilde{a}}_{i j} = {(- 1)}^{i + j} | \begin{matrix} a_{11} & \dots & \times a_{1 j} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \times a_{j 1} & \dots & \times a_{i j} & \dots & \times a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & \times a_{n j} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}$ を $A$ の $(i, j)$ 余因子という。

余因子展開

【定理】
余因子展開
Cofactor Expansion

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ に対して
① 第 $i$ 行に関する展開 $\begin{matrix} | A | = a_{i 1} {\tilde{a}}_{i 1} + a_{i 2} {\tilde{a}}_{i 2} + \dots + a_{i n} {\tilde{a}}_{i n} \end{matrix}$ ② 第 $j$ 行に関する展開 $\begin{matrix} | A | = a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 j} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 j} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n j} \end{matrix}$

余因子の性質

【定理】
余因子の性質
Properties of Cofactor of Matrices

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ に対して
① $\begin{matrix} a_{i 1} {\tilde{a}}_{k 1} + a_{i 2} {\tilde{a}}_{k 2} + \dots + a_{i n} {\tilde{a}}_{k n} = 0 i \neq k \end{matrix}$ ② $\begin{matrix} a_{1 j} {\tilde{a}}_{1 k} + a_{2 j} {\tilde{a}}_{2 k} + \dots + a_{n j} {\tilde{a}}_{n k} = 0 j \neq k \end{matrix}$

余因子行列

$n$ 次正方行列 $A = (a_{i j})$ の $(i, j)$ 余因子 ${\tilde{a}}_{i j}$ を $(i, j)$ 成分にもつ $n$ 次方行列の転置行列 $\begin{matrix} \tilde{A} = {(\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{12} & \dots & {\tilde{a}}_{1 n} \\ {\tilde{a}}_{21} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{n 1} & {\tilde{a}}_{n 2} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix}) \end{matrix}$ を $A$ の余因子行列 adjugate matrix という。

余因子行列には、 $\begin{matrix} A \tilde{A} = \tilde{A} A = | A | E \end{matrix}$ という性質がある。

逆転公式

【定理】
逆転公式

正方行列 $A$ が正則ならば $\begin{matrix} A^{- 1} = \frac{1}{| A |} \tilde{A} \end{matrix}$

参考文献

村上正康, 佐藤恒雄, 野澤宗平, 稲葉尚志共著. 教養の線形代数. 培風館, 2016, p.51-70
馬場敬之著. 線形代数キャンパス・ゼミ. 改訂8, マセマ出版社, 2020, p.58-85

行列式

順列

順列の転倒数