行列式

本稿では、行列式を紹介しています。

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順列

$1$ から $n$ までの自然数 $1,2, \cdots ,n$ を適当な順番で横一列に並べた \begin{gather} \left(\begin{matrix}p_1&p_2& \cdots &p_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} を長さ $n$ の順列という。

順列の転倒数

$1$ から $n$ までの自然数を左から小さい順に並べた長さ $n$ の順列 \begin{gather} \left(\begin{matrix}1&2& \cdots &n\\\end{matrix}\right) \end{gather} では、その中のどの2つの数字を取り出しても必ず右の数字の方が大きい。

一般に、長さ $n$ の順列において、2つの数字を取り出したとき、右の数字の方が小さいならばその2つの数字のペアは転倒しているという。すなわち、左から $i$ 番目と $j$ 番目にある2つの数字 $p_i$ と $p_j$ を取り出すとき $i \lt j \quad $であるのに、$ \quad p_i \gt p_j$ であるならば、 $p_i$ と $p_j$ は転倒している。 長さ $n$ の順列の中にある転倒しているペアの総数をその順列の転倒数 inversion number という。

順列の符号

転倒数が $r$ の順列に対して \begin{gather} \left(-1\right)^r \end{gather} を順列の符号sign of a permutation といい、 \begin{gather} \varepsilon \left(\begin{matrix}p_1&p_2& \cdots &p_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} で表す。

2つの数字を入れ替えた順列の符号

 

行列式の定義

$n$ 次正方行列 $\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ から定まる数 \begin{gather} \sum{\mathrm{sgn} \left(\begin{matrix}1&2& \cdots &n\\p_1&p_2& \cdots &p_n\\\end{matrix}\right)a_{1p_1} \cdot a_{2p_2} \cdots a_{np_n}}\\ \sum_{ \left(p_1, \cdots ,p_n\right)}{\varepsilon \left(\begin{matrix}p_1&p_2& \cdots &p_n\\\end{matrix}\right)a_{1p_1} \cdot a_{2p_2} \cdots a_{np_n}} \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ の行列式 determinant といい、 \begin{gather} D \left(\boldsymbol{A}\right) \quad \mathrm{det} \left(\boldsymbol{A}\right) \quad \mathrm{det}\ \boldsymbol{A}\\ \left|\boldsymbol{A}\right| \quad \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}& \cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}& \cdots &a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}& \cdots &a_{nn}\\\end{matrix}\right| \end{gather} などの記号で表す。

ここで、 \begin{gather} \sum_{ \left(p_1, \cdots ,p_n\right)}\varepsilon \left(\begin{matrix}p_1&p_2& \cdots &p_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} は長さ $n$ のすべての順列についての和を表す。

 

1次の行列式

1次の正方行列 \begin{gather} A=a_1 \end{gather} の行列式は数 $a_1$ 自身である。

2次の行列式

2次正方行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} の行列式は \begin{align} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right|&=\varepsilon \left(\begin{matrix}1&2\\\end{matrix}\right)a_{11}a_{22}+\varepsilon \left(\begin{matrix}2&1\\\end{matrix}\right)a_{12}a_{21}\\ &=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{align}

3次の行列式

3次正方行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right) \end{gather} の行列式は \begin{align} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right|=&\varepsilon \left(\begin{matrix}1&2&3\\\end{matrix}\right)a_{11}a_{22}a_{33}+\varepsilon \left(\begin{matrix}1&3&2\\\end{matrix}\right)a_{11}a_{23}a_{32}\\ &+\varepsilon \left(\begin{matrix}2&1&3\\\end{matrix}\right)a_{12}a_{21}a_{33}+\varepsilon \left(\begin{matrix}2&3&1\\\end{matrix}\right)a_{12}a_{23}a_{31}\\ &+\varepsilon \left(\begin{matrix}3&1&2\\\end{matrix}\right)a_{13}a_{21}a_{32}+\varepsilon \left(\begin{matrix}3&2&1\\\end{matrix}\right)a_{13}a_{22}a_{31}\\ =&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \end{align}

 

行列式の基本性質

以下、$n$ 次正方行列 $\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ の行ベクトル分割と列ベクトル分割を \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{a}_1\\\boldsymbol{a}_2\\\vdots\\\boldsymbol{a}_n\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2& \cdots &\boldsymbol{a}_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} とし、行列式の性質を調べる。

 

多重線形性

 

交代性

 

値が0になる行列式

 

転置と積の行列式

積の行列式

行列式による正則性の判定

 

転置の行列式

 

行列式の展開

余因子

2次以上の $n$ 次正方行列 $\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いてできる $n-1$ 次正方行列の行列式を $ \left(-1\right)^{i+j}$ 倍した数 \begin{gather} {\widetilde{a}}_{ij}= \left(-1\right)^{i+j} \left|\begin{matrix}a_{11}& \cdots &\times a_{1j}& \cdots &a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\\times a_{j1}& \cdots &\times a_{ij}& \cdots &\times a_{in}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{n1}& \cdots &\times a_{nj}& \cdots &a_{nn}\\\end{matrix}\right| \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ の $ \left(i,j\right)$ 余因子という。

余因子展開

 

余因子の性質

 

余因子行列

$n$ 次正方行列 $\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ の $ \left(i,j\right)$ 余因子 ${\widetilde{a}}_{ij}$ を $ \left(i,j\right)$ 成分にもつ $n$ 次方行列の転置行列 \begin{gather} \widetilde{\boldsymbol{A}}= \left(\begin{matrix}{\widetilde{a}}_{11}&{\widetilde{a}}_{12}& \cdots &{\widetilde{a}}_{1n}\\{\widetilde{a}}_{21}&{\widetilde{a}}_{22}& \cdots &{\widetilde{a}}_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\{\widetilde{a}}_{n1}&{\widetilde{a}}_{n2}& \cdots &{\widetilde{a}}_{nn}\\\end{matrix}\right)^T= \left(\begin{matrix}{\widetilde{a}}_{11}&{\widetilde{a}}_{21}& \cdots &{\widetilde{a}}_{n1}\\{\widetilde{a}}_{12}&{\widetilde{a}}_{22}& \cdots &{\widetilde{a}}_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\{\widetilde{a}}_{1n}&{\widetilde{a}}_{2n}& \cdots &{\widetilde{a}}_{nn}\\\end{matrix}\right) \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ の余因子行列 adjugate matrix という。

余因子行列には、 \begin{gather} \boldsymbol{A}\widetilde{\boldsymbol{A}}=\widetilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{A}= \left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{E} \end{gather} という性質がある。

逆転公式

 

参考文献

• 村上 正康, 佐藤 恒雄, 野澤 宗平, 稲葉 尚志 共著. 教養の線形代数. 培風館, 2016, p.51-70
• 馬場 敬之 著. 線形代数キャンパス・ゼミ. 改訂8, マセマ出版社, 2020, p.58-85

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