内積

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ベクトルの内積

内積

$\boldsymbol{R}^n$ のベクトル $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ に対し、実数 $ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)$ が定まって、次の4条件が成り立つとき、$ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)$ を $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ の内積 inner product という。

内積の定義されたベクトル空間 $\boldsymbol{R}^n$ を内積空間という。

ベクトルの大きさ

内積空間においては条件④より、$ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\right)$ はつねに負でない実数である。 \begin{gather} \left| \left|\boldsymbol{a}\right|\right|=\sqrt{ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\right)} \end{gather} をベクトル $\boldsymbol{a}$ の大きさ（または長さ、ノルム norm）という。

標準内積

いま、$\boldsymbol{R}^n$ のベクトル \begin{gather} \boldsymbol{a}= \left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{b}= \left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} に対して \begin{gather} \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)=\boldsymbol{a}^T\boldsymbol{b}=\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i} \end{gather} を $\boldsymbol{R}^n$ の標準内積という。 標準内積においては \begin{gather} \left| \left|\boldsymbol{a}\right|\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2} \end{gather} である。

 

ベクトルの大きさの性質

なす角・直交

内積空間 $\boldsymbol{R}^n$ において、$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ がともに零ベクトルでないとき、シュワルツの不等式から \begin{gather} -1 \le \frac{ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)}{ \left| \left|\boldsymbol{a}\right|\right| \left| \left|\boldsymbol{b}\right|\right|} \le 1 \end{gather} が成り立つ。 よって \begin{gather} \frac{ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)}{ \left| \left|\boldsymbol{a}\right|\right| \left| \left|\boldsymbol{b}\right|\right|}=\cos{\theta} \quad 0 \le \theta \le \pi \end{gather} を満たす $\theta$ がただ1つ有在する。 この $\theta$ をベクトル $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ のなす角という。

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ がともに零ベクトルでなくて $ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)=0$ ならば、上式より \begin{gather} \cos{\theta}=0\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{2} \end{gather} $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ のどちらかが零ベクトルの場合には、内積の条件からつねに \begin{gather} \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)=0 \end{gather} となる。

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ が零ベクトルであるとないとにかかわらず、$ \left(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right)=0$ のとき、$\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ は互いに直交する（垂直である）ということにし、 \begin{gather} \boldsymbol{a}\bot\boldsymbol{b} \end{gather} と書く。

 

正規化

零でないベクトル $\boldsymbol{a}$ をその大きさで割って、大きさ1のベクトル \begin{gather} \frac{1}{ \left| \left|\boldsymbol{a}\right|\right|}\boldsymbol{a} \end{gather} にすることを正規化する normalize という。

正規直交系

内積空間 $\boldsymbol{R}^n$ のベクトルの組 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots ,\boldsymbol{a}_r$ がすべて大きさ1で（すなわち、正規化されていて）かつどの2つも互いに直交するとき、いいかえると \begin{gather} \left(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j\right)=0 \quad i \neq j \end{gather} が成り立つとき \begin{gather} \left\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots ,\boldsymbol{a}_r\right\} \end{gather} は正規直交系 orthonormal system であるという。

正規直交系の1次独立性

 

直交補空間

$\boldsymbol{R}^n$ の部分空間 $W$ が与えられたとき、別の部分空間 $W^\prime$ をうまく見つけて、$W$ と $W^\prime$ の直和を $\boldsymbol{R}^n$ 全体にすることを考える（このような $W^\prime$ を $W$ の補空間 complementary space という）。

直交補空間

$W$ を内積空間 $\boldsymbol{R}^n$ の部分空間とし、$\boldsymbol{a}$ を $\boldsymbol{R}^n$ のベクトルとする。$\boldsymbol{a}$ が $W$ に属するすべてのベクトルに直交するとき、$\boldsymbol{a}$ は $W$ に直交するといい、 \begin{gather} \boldsymbol{a}\bot W \end{gather} と書く。

ベクトルと部分空間との直交条件

$W$ に直交するベクトル $\boldsymbol{x}$ 全体の集合 \begin{gather} \left\{\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{R}^n\middle|\boldsymbol{x}\bot W\right\} \end{gather} は $\boldsymbol{R}^n$ の部分空間となる。 これを \begin{gather} W^\bot \end{gather} と表す。 $W^\bot$ を $W$ の直交補空間 orthogonal complement という。

正射影

 

直交行列と内積

直交行列

実正方行列 $\boldsymbol{A}$ が \begin{gather} \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} \end{gather} を満たすとき、$\boldsymbol{A}$ を直交行列 orthogonal matrix という。

直交行列と正規直交基底

 

直交行列の定める線形変換

 

証明

ベクトルの大きさとなす角は内積から定まるから、内積を変えないならば、大きさとなす角も変えない。よって、直交行列の定める線形変換は、大きさもなす角も変えない変換、すなわち合同変換である。

 

参考文献

• 村上 正康, 佐藤 恒雄, 野澤 宗平, 稲葉 尚志 共著. 教養の線形代数. 培風館, 2016, p.117-127
• 馬場 敬之 著. 線形代数キャンパス・ゼミ. 改訂8, マセマ出版社, 2020, p.186-193

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