変数変換による重積分

本稿では、変数変換による重積分と性質を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

ヤコビアン

例えば、領域 $$\begin{array}{c}D=\{0\le 2x+y\le \pi ,0\le 2x-y\le \pi \}\end{array}$$ における 関数 $$\begin{array}{c}f(x,y)=(2x+y)\sin (2x-y)\end{array}$$ の重積分 $$\begin{array}{c}{\iint }_{D}f(x,y)dxdy\end{array}$$ を求める場合、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& u=2x+y\text{(2)}& v=2x-y\end{array}$$ と変数変換する。

式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{c}x=\frac{1}{4}(u+v)\\ y=\frac{1}{2}(u-v)\end{array}$$ $x,y$ がそれぞれ $u,v$ の二変数関数となるので、このときの全微分は、 $$\begin{array}{}\text{(3)}& dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\text{(2)}& dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}dx=Xdy=Ydu=Udv=V\end{array}$$ さらに $$\begin{array}{c}\alpha =\frac{\partial x}{\partial u}\beta =\frac{\partial x}{\partial v}\gamma =\frac{\partial y}{\partial u}\delta =\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}$$ とおくと、 式 $(3),(4)$ は $$\begin{array}{c}X=\alpha U+\beta V\\ Y=\gamma U+\delta V\end{array}$$ すなわち、 $$\begin{array}{}\text{(5)}& \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right)\end{array}$$ とおける。

$UV$ 座標平面上での面積要素 $UV=dudv$ が、式 $(5)$ によって $XY$ 座標平面上に写されたものを、この平面上での面積要素 $dxdy$ とおく。

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{OP}=(U,0)\overrightarrow{OQ}=(0,V)\end{array}$$ が $(5)$ によりそれぞれ、 $$\begin{array}{c}\overrightarrow{{OP}^{\prime }}=(X_1,Y_1)\overrightarrow{{OQ}^{\prime }}=(X_2,Y_2)\end{array}$$ に写されるものとすると、 $$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ Y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}U\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha U\\ \gamma U\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}{X}_2\\ Y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\beta V\\ \delta V\end{array}\right)\end{array}$$ よって、面積 $UV$ の領域が $XY$ 平面上に写される領域は、$\overrightarrow{{OP}^{\prime }}$ と $\overrightarrow{{OQ}^{\prime }}$ とでできる平行四辺形の領域になる。したがって、この領域の面積 $|X_1{Y}_2-X_2{Y}_1|$ を $XY$ 平面上の面積要素 $dxdy$ とおくので、 $$\begin{array}{c}dxdy=|X_1{Y}_2-X_2{Y}_1|=|\alpha U\cdot \delta V-\beta V\cdot \gamma U|\end{array}$$ 以上より、 $$\begin{array}{c}dxdy=|\alpha \cdot \delta -\beta \cdot \gamma |UV=|\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}|dudv\end{array}$$

この絶対値の中身は、形式的に、行列 $$\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)\end{array}$$ とおくと、 行列式 $$\begin{array}{c}\det \left(A\right)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\cdot \frac{\partial y}{\partial u}\end{array}$$ で表すことができる。

これをヤコビアン Jacobian、または、ヤコビ行列式、関数行列式と呼び、アルファベットの $$\begin{array}{c}J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\end{array}$$ で表す。 これは、1変数関数の置換積分法に当たるものである。

一般には、$n$ 個の多変数関数 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ が変数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ で偏微分可能なときの一階偏導関数全体が作る $n$ 次正方行列 $$\begin{array}{c}J=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_n}& \frac{\partial f_2}{\partial x_n}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]\end{array}$$ をヤコビ行列といい、その行列式の絶対値をヤコビアンと呼ぶ。 また、ヤコビ行列は $$\begin{array}{c}J=\frac{\partial (f_1,f_2,\cdots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_n)}=\frac{\partial \left(\mathit{f}\right)}{\partial \left(\mathit{x}\right)}\end{array}$$ と表すこともある。

変数変換による重積分

極座標による変換

ガウス積分の公式

証明

参考文献

• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.212-225

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