本稿では、変数変換による重積分と性質を紹介しています。
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ヤコビアン
例えば、領域 \begin{gather} D= \left\{0 \le 2x+y \le \pi,0 \le 2x-y \le \pi\right\} \end{gather} における 関数 \begin{gather} f \left(x,y\right)= \left(2x+y\right)\sin{ \left(2x-y\right)} \end{gather} の重積分 \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy \end{gather} を求める場合、 \begin{gather} u=2x+y\tag{1}\\ v=2x-y\tag{2} \end{gather} と変数変換する。
式 $(1),(2)$ より、 \begin{gather} x=\frac{1}{4} \left(u+v\right)\\ y=\frac{1}{2} \left(u-v\right) \end{gather} $x,y$ がそれぞれ $u,v$ の二変数関数となるので、このときの全微分は、 \begin{gather} dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\tag{3}\\ dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\tag{2} \end{gather} ここで、 \begin{gather} dx=X \quad dy=Y \quad du=U \quad dv=V \end{gather} さらに \begin{gather} \alpha=\frac{\partial x}{\partial u} \quad \beta=\frac{\partial x}{\partial v} \quad \gamma=\frac{\partial y}{\partial u} \quad \delta=\frac{\partial y}{\partial v} \end{gather} とおくと、 式 $(3),(4)$ は \begin{gather} X=\alpha U+\beta V\\ Y=\gamma U+\delta V \end{gather} すなわち、 \begin{gather} \left(\begin{matrix}X\\Y\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}U\\V\\\end{matrix}\right)\tag{5} \end{gather} とおける。
$UV$ 座標平面上での面積要素 $UV=dudv$ が、式 $(5)$ によって $XY$ 座標平面上に写されたものを、この平面上での面積要素 $dxdy$ とおく。
\begin{gather} \vec{OP}= \left(U,0\right) \quad \vec{OQ}= \left(0,V\right) \end{gather} が $(5)$ によりそれぞれ、 \begin{gather} \vec{{OP}^\prime}= \left(X_1,Y_1\right) \quad \vec{{OQ}^\prime}= \left(X_2,Y_2\right) \end{gather} に写されるものとすると、 \begin{gather} \left(\begin{matrix}X_1\\Y_1\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}U\\0\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\alpha U\\\gamma U\\\end{matrix}\right)\\ \left(\begin{matrix}X_2\\Y_2\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}0\\V\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}\beta V\\\delta V\\\end{matrix}\right) \end{gather} よって、面積 $UV$ の領域が $XY$ 平面上に写される領域は、$\vec{{OP}^\prime}$ と $\vec{{OQ}^\prime}$ とでできる平行四辺形の領域になる。したがって、この領域の面積 $ \left|X_1Y_2-X_2Y_1\right|$ を $XY$ 平面上の面積要素 $dxdy$ とおくので、 \begin{gather} dxdy= \left|X_1Y_2-X_2Y_1\right|= \left|\alpha U \cdot \delta V-\beta V \cdot \gamma U\right|\\ \end{gather} 以上より、 \begin{gather} dxdy= \left|\alpha \cdot \delta-\beta \cdot \gamma\right|UV= \left|\frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}\right|dudv \end{gather}
この絶対値の中身は、形式的に、行列 \begin{gather} A= \left(\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right) \end{gather} とおくと、 行列式 \begin{gather} \mathrm{det}\ \left(A\right)= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right|=\frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} \end{gather} で表すことができる。
これをヤコビアン Jacobian、または、ヤコビ行列式、関数行列式と呼び、アルファベットの \begin{gather} J= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right| \end{gather} で表す。 これは、1変数関数の置換積分法に当たるものである。
一般には、$n$ 個の多変数関数 $f_1,f_2, \cdots ,f_n$ が変数 $x_1,x_2, \cdots ,x_n$ で偏微分可能なときの一階偏導関数全体が作る $n$ 次正方行列 \begin{gather} J= \left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \cdots &\frac{\partial f_n}{\partial x_1}\\\frac{\partial f_1}{\partial x_2}&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_n}{\partial x_2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial f_1}{\partial x_n}&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}& \cdots &\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\\\end{matrix}\right] \end{gather} をヤコビ行列といい、その行列式の絶対値をヤコビアンと呼ぶ。 また、ヤコビ行列は \begin{gather} J=\frac{\partial \left(f_1,f_2, \cdots ,f_n\right)}{\partial \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right)}=\frac{\partial \left(\boldsymbol{f}\right)}{\partial \left(\boldsymbol{x}\right)} \end{gather} と表すこともある。
変数変換による重積分
【定理】
変数変換による重積分
Change of Variables in Multiple Integrals
$xy$ 平面の有界閉領域 $D$ と $uv$ 平面の有界閉領域 $D^\prime$ とが変数変換 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}x=g \left(u,v\right)\\y=h \left(u,v\right)\\\end{matrix}\right. \end{gather} により1対1で対応し、 \begin{gather} \left|J\right|= \left|\begin{matrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\\\end{matrix}\right|= \left|x_uy_v-y_ux_v\right| \neq 0 \end{gather} とする。 このとき、$f \left(x,y\right)$ が $D$ で連統ならば、 \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\iint_{D^\prime}{f \left[g \left(u,v\right),h \left(u,v\right)\right] \cdot \left|J\right| \cdot d u d v} \end{gather}
極座標による変換
【定理】
極座標変換による重積分
Double Integrals in Polar Coordinates
$xy$ 平面の有界閉領域 $D$ 内の点 $P$ の極座標を $ \left(r,\theta\right)$ とすると、$D$ 内の点は不等式 \begin{gather} D= \left\{g \left(\theta\right) \le r \le h \left(\theta\right),\alpha \le \theta \le \beta\right\} \end{gather} で示される。 このとき、極座標に直す変換 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}x=r\cos{\theta}\\y=r\sin{\theta}\\\end{matrix}\right. \end{gather} を行えば、 \begin{gather} \iint_{D}f \left(x,y\right)dxdy=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{g \left(\theta\right)}^{h \left(\theta\right)}{f \left(r\cos{\theta},r\sin{\theta}\right) \cdot r \cdot d r d\theta} \end{gather}
ガウス積分の公式
【公式】
ガウス積分の公式
Gaussian Integral
\begin{gather} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt\pi \end{gather} 一般には、 \begin{gather} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ax^2}dx}=\frac{\sqrt\pi}{\sqrt a} \quad 0 \lt a \end{gather}
証明
まず、 \begin{gather} I=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2}dxdy}\tag{1} \end{gather} とおく。 $x,y$ を極座標に変換すると \begin{gather} \left\{\begin{matrix}x=r\cos{\theta}\\y=r\sin{\theta}\\\end{matrix}\right. \end{gather} ここで、新たな $r\theta$ 座標系での領域 \begin{gather} 0 \le \theta \le 2\pi \quad 0 \le r \le p \end{gather} ただし、$p$ は正の定数 を作り、 $p\rightarrow\infty$ とすることにより、式 $(1)$ の重積分を行うことができる。極座標変換による重積分の公式より、 \begin{align} I&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2}dxdy}\\ &=\lim_{p\rightarrow\infty}{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{p}{e^{-r^2} \cdot r \cdot d r d\theta}}\\ &=\lim_{p\rightarrow\infty}{\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{p}{e^{-r^2} \cdot r \cdot d r}}\\ &=\lim_{p\rightarrow\infty}{ \left[\theta\right]_0^{2\pi} \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^p}\\ &=\lim_{p\rightarrow\infty}{2\pi \cdot \frac{1}{2} \left(1-e^{-p^2}\right)}\\ &=\pi\tag{2} \end{align} ここで、式 $(1)$ について \begin{align} I&= \left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^2}dy}\right)\\ &= \left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\right)^2\tag{3} \end{align} よって、式 $(2),(3)$ より、 \begin{gather} \left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\right)^2=\pi\\ 0 \lt \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}\Rightarrow\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx}=\sqrt\pi \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.212-225
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