ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.1」の自作解答例です。ケース・コントロール研究に関する指標の基本性質に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.1.1：前向き発症オッズ比と後ろ向き曝露オッズ比の同等性

全体の有病割合 $\delta$ を用いて得られた分割表を書き直すと、以下のようになる。

モデル上の数値から、曝露群の発症確率を表すと、「曝露された人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、
ベイズの定理 $P\left(A\right|B)=\frac{P\left(A\right|B)\cdot P\left(B\right)}{P\left(A\right|B)\cdot P\left(B\right)+P\left(A\right|\overline{B})\cdot P\left(\overline{B}\right)}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_1& =P\left(D\right|E)\\ & =\frac{P(D\cap E)}{P\left(E\right)}\\ & =\frac{P\left(E\right|D)\cdot P\left(D\right)}{P\left(E\right|D)\cdot P\left(D\right)+P\left(E\right|\overline{D})\cdot P\left(\overline{D}\right)}\\ & =\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\\ 1-{\pi }_1& =\frac{(1-\delta ){\varphi }_2}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\end{array}$$ 同様に、非曝露群の発症確率を表すと、「曝露されていない人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_2& =P\left(D\right|\overline{E})\\ & =\frac{P(D\cap \overline{E})}{P\left(\overline{E}\right)}\\ & =\frac{P\left(\overline{E}\right|D)\cdot P\left(D\right)}{P\left(\overline{E}\right|D)\cdot P\left(D\right)+P\left(\overline{E}\right|\overline{D})\cdot P\left(\overline{D}\right)}\\ & =\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}\\ 1-{\pi }_2& =\frac{(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}\end{array}$$ 前向き発症オッズ比の定義式 $\mathrm{OR}=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_2}{{\pi }_2}$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{OR}& =\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\cdot \frac{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}{(1-\delta ){\varphi }_2}\cdot \frac{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta (1-{\varphi }_1)}\cdot \frac{(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}\\ & =\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{1-{\varphi }_2}{{\varphi }_2}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ $◼$

問題5.1.2：前向き帰無仮説と後ろ向き帰無仮説の同等性

前向き発症確率が等しい $H_0:{\pi }_1={\pi }_2$ とき、 $$\begin{array}{c}\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}=\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}\\ \frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}-\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}-\delta (1-{\varphi }_1)\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1(\delta -\delta {\varphi }_1+1-{\varphi }_2-\delta +\delta {\varphi }_2)-(\delta -\delta {\varphi }_1)(\delta {\varphi }_1+{\varphi }_2-\delta {\varphi }_2)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}}=0\\ \frac{(-{\delta }^2{\varphi }_1^2+\delta {\varphi }_1-\delta {\varphi }_1{\varphi }_2+{\delta }^2{\varphi }_1{\varphi }_2)-({\delta }^2{\varphi }_1+\delta {\varphi }_2-{\delta }^2{\varphi }_2-{\delta }^2{\varphi }_1^2-\delta {\varphi }_1{\varphi }_2+{\delta }^2{\varphi }_1{\varphi }_2)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1-{\delta }^2{\varphi }_1-\delta {\varphi }_2+{\delta }^2{\varphi }_2}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}}=0\\ \frac{\delta (1-\delta )({\varphi }_1-{\varphi }_2)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)\}}=0\end{array}$$ これが恒等式となるための $\delta =0,\delta =1$ 以外の条件は、 $$\begin{array}{r}{\varphi }_1={\varphi }_2\end{array}$$ これは、後ろ向き曝露確率が等しいという帰無仮説を示している。 $◼$

問題5.1.3：前向き対立仮説と後ろ向き対立仮説の同等性

問題5.1.2と同様に、前向き発症確率が等しくない $H_1:{\pi }_1\ne {\pi }_2$ とき、後ろ向き曝露確率が等しくないという $H_1:{\varphi }_1\ne {\varphi }_2$ 結果が得られる。 $◼$

問題5.1.4：前向き発症リスク比と後ろ向き曝露リスク比の関係―全体の有病割合が既知のとき

全体の有病割合 $\delta$ が分かっているとき、曝露群と非曝露群の発症確率は、 $$\begin{array}{c}{\pi }_1=\frac{(1-\delta ){\varphi }_2}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\\ {\pi }_2=\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}\end{array}$$ 前向き発症相対リスクの定義式 $\mathrm{RR}=\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{RR}& =\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\cdot \frac{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta (1-{\varphi }_1)}\\ & =\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\end{array}$$ この一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\widehat{\mathrm{RR}}=\frac{p_1}{1-p_1}\cdot \frac{\delta (1-p_1)+(1-\delta )(1-p_2)}{\delta p_1+(1-\delta )p_2}\end{array}$$ $◼$

しかし、多くの場合、全体の有病割合が事前には分からず、通常ケース・コントロール研究からは直接推定することができないため、このアプローチはほとんど実用的ではない。

問題5.1.5：前向き発症リスク比と後ろ向き曝露オッズ比の関係①

疾病の発症が稀な場合 $(\delta \to 0)$ $$\begin{array}{rl}\underset{\delta \to 0}{lim}\mathrm{RR}& =\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_2)}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_2}\\ & =\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{1-{\varphi }_2}{{\varphi }_2}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ $◼$

問題5.1.6：前向き発症リスク比と後ろ向き曝露オッズ比の関係②

また、 $$\begin{array}{r}\mathrm{RR}=\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{\delta ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+(1-{\varphi }_2)}{\delta ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+{\varphi }_2}\end{array}$$ よって、曝露確率に差がない $({\varphi }_1-{\varphi }_2\to 0)$ とき、 $$\begin{array}{rl}\underset{{\varphi }_1-{\varphi }_2\to 0}{lim}\mathrm{RR}& =\underset{{\varphi }_1-{\varphi }_2\to 0}{lim}\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{\delta ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+(1-{\varphi }_2)}{\delta ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+{\varphi }_2}\\ & =\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{1-{\varphi }_2}{{\varphi }_2}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ $◼$

問題5.1.7：人口寄与危険割合の対数オッズの別表現

人口寄与危険割合の定義式 $\mathrm{PAR}=\frac{{\alpha }_1(RR-1)}{1+{\alpha }_1(RR-1)}$ より、 $$\begin{array}{rl}1-\mathrm{PAR}& =1-\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ & =\frac{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)-{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ & =\frac{1}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}& =\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)\}\\ & ={\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)\end{array}$$ $\underset{\delta \to 0}{lim}\mathrm{RR}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}$ より、 $$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}\cong {\alpha }_1({\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$ 両辺の対数をとると、 $$\begin{array}{r}\log \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}=\log {\alpha }_1({\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$ この一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}=\log {\alpha }_1({\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$ $◼$

問題5.1.8：人口寄与危険割合の対数オッズの漸近分散

発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 $\mathrm{OR}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}$ より、発症オッズ比を用いて考える。
人口寄与危険割合の標本対数オッズの漸近分散は、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]=\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\left\{\frac{n_2{\pi }_2(1-{\pi }_1)+n_1{\pi }_1(1-{\pi }_2)}{n_1{n}_2{\pi }_2}\right\}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{OR}-1& =\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_2)-{\pi }_2(1-{\pi }_1)}{{\pi }_2(1-{\pi }_1)}\\ & =\frac{{\pi }_1-{\pi }_1{\pi }_2-{\pi }_2+{\pi }_1{\pi }_2}{{\pi }_2(1-{\pi }_1)}\\ & =\frac{{\pi }_1-{\pi }_2}{{\pi }_2(1-{\pi }_1)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})& =\frac{{\pi }_1^2{(1-{\pi }_2)}^2}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}[\frac{1}{n_1{\pi }_1(1-{\pi }_1)}+\frac{1}{n_2{\pi }_2(1-{\pi }_2)}]\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}[\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_2)}^2}{n_1{\pi }_1(1-{\pi }_1)}+\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_2)}^2}{n_2{\pi }_2(1-{\pi }_2)}]\\ \text{(2)}& & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}[\frac{{(1-{\pi }_2)}^2}{n_1(1-{\pi }_1)}+\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_2)}^2}{n_2{\pi }_2(1-{\pi }_2)}]\end{array}$$ ここで、全体の有病割合は、曝露群と非曝露群の発症割合の和 $$\begin{array}{r}\delta =P\left(D\right)=P\left(D\right|E)+P\left(D\right|\overline{E})={\pi }_1+{\pi }_2\end{array}$$ であり、 希少疾患 $\delta \to 0$ のとき、両群の発症割合も限りなく小さくなっていく、すなわち、 $$\begin{array}{c}\underset{\delta \to 0}{lim}{\pi }_1\to 0\underset{\delta \to 0}{lim}{\pi }_2\to 0\\ \underset{\delta \to 0}{lim}(1-{\pi }_1)\to 1\underset{\delta \to 0}{lim}(1-{\pi }_2)\to 0\end{array}$$ と考えられる。 このとき、式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{r}V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]=\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\left(\frac{n_2{\pi }_2+n_1{\pi }_1}{n_1{n}_2{\pi }_2}\right)\end{array}$$ 式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})& =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}(\frac{1}{n_1}+\frac{{\pi }_1}{n_2{\pi }_2})\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\left(\frac{n_2{\pi }_2+n_1{\pi }_1}{n_1{n}_2{\pi }_2}\right)\end{array}$$ したがって、希少疾患のとき、漸近的に、 $$\begin{array}{r}V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]\cong {\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})\end{array}$$ $◼$

そして、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 $$\begin{array}{r}\mathrm{OR}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ をもとに、 後ろ向き曝露オッズ比の推定値 $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}}=\frac{bc}{ad}\end{array}$$ 対数オッズ比の分散の公式 $$\begin{array}{c}V(\log {\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}})=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\end{array}$$ を用いて、 分散の一致推定量を計算することができる。

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.257
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.216-218

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