ロジスティック・モデルによる対数リスク比の最尤推定

積二項尤度の基本式より、 \begin{align} L \left(\pi_1,\pi_2\right)={}_{n_1}C_a \cdot \pi_1^a \left(1-\pi_1\right)^{n_1-a} \cdot {}_{n_0}C_b \cdot \pi_0^b \left(1-\pi_0\right)^{n_0-b} \end{align} 対数尤度関数の定義 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ より、 \begin{align} l \left(\pi_1,\pi_2\right)&=\log{ \left[{}_{n_1}C_a \cdot \pi_1^a \left(1-\pi_1\right)^{n_1-a} \cdot {}_{n_0}C_b \cdot \pi_0^b \left(1-\pi_0\right)^{n_0-b}\right]}\\ &=\log{{}_{n_1}C_a}+a\log{\pi_1}+ \left(n_1-a\right)\log{ \left(1-\pi_1\right)}+\log{{}_{n_0}C_b}+b\log{\pi_0}+ \left(n_0-b\right)\log{ \left(1-\pi_0\right)} \end{align} $\log{{}_{n_1}C_a}+\log{{}_{n_0}C_b}=C$ とすると、各セルどうしの関係、対数リスクモデルの仮定より、 \begin{gather} n_1-a=c n_0-b=d a+b=m_1 \log{\pi_1}=\alpha+\beta \log{\pi_0}=\alpha \end{gather} よって、 \begin{align} l \left(\pi_1,\pi_2\right)&=a\log{\pi_1}+c\log{ \left(1-\pi_1\right)}+b\log{\pi_0}+d\log{ \left(1-\pi_0\right)}+C\\ &=a\log{ \left(e^{\alpha+\beta}\right)}+c\log{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)}+b\log{ \left(e^\alpha\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}+C\\ &=a \left(\alpha+\beta\right)+c\log{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)}+b\alpha+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}+C\\ &= \left(a+b\right)\alpha+a\beta+c\log{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}+C\\ &=m_1\alpha+a\beta+c\log{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}+C \end{align} パラメータ $\alpha$ のスコア関数は、この対数尤度関数を $\alpha$ で偏微分して、 \begin{align} U_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=m_1-c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{1-e^{\alpha+\beta}}-d \cdot \frac{e^\alpha}{1-e^\alpha}\\ &=m_1-\frac{c\pi_1}{1-\pi_1}-\frac{d\pi_0}{1-\pi_0} \end{align} 同様に、パラメータ $\beta$ のスコア関数は、この対数尤度関数を $\beta$ で偏微分して、 \begin{align} U_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=a-c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{1-e^{\alpha+\beta}}\\ &=a-\frac{c\pi_1}{1-\pi_1} \end{align}

最尤推定量の定義 $U \left(\hat{\theta}\right)=0$ より、 \begin{gather} U_\alpha \left(\hat{\alpha},\hat{\beta}\right)=m_1-\frac{c\pi_1}{1-\pi_1}-\frac{d\pi_0}{1-\pi_0}=0\tag{1}\\ U_\beta \left(\hat{\alpha},\hat{\beta}\right)=a-\frac{c\pi_1}{1-\pi_1}=0\tag{2} \end{gather} この連立方程式を解くと、 \begin{gather} m_1-a-\frac{de^{\hat{\alpha}}}{1-e^{\hat{\alpha}}}=0\\ \frac{e^{\hat{\alpha}}}{1-e^{\hat{\alpha}}}=\frac{b}{d}\\ e^{\hat{\alpha}}=\frac{b}{d}-\frac{b}{d}e^{\hat{\alpha}}\\ \left(1+\frac{b}{d}\right)e^{\hat{\alpha}}=\frac{b}{d}\\ \left(\frac{d+b}{d}\right)e^{\hat{\alpha}}=\frac{b}{d}\\ e^{\hat{\alpha}}=\frac{b}{d} \cdot \frac{d}{d+b}\\ e^{\hat{\alpha}}=\frac{d}{d+b}=\frac{b}{n_0}\\ \hat{\alpha}=\log{\frac{b}{n_0}} \end{gather} \begin{gather} \frac{e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}}{1-e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}}=\frac{a}{c}\\ e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}=\frac{a}{c}-\frac{a}{c}e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}\\ \left(1+\frac{a}{c}\right)e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}=\frac{a}{c}\\ e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}=\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a+c}=\frac{a}{n_1}\\ e^{\hat{\beta}}\frac{b}{n_0}=\frac{a}{n_1}\\ e^{\hat{\beta}}=\frac{an_0}{bn_1}\\ \hat{\beta}=\log{\frac{an_0}{bn_1}} \end{gather} $\blacksquare$

ヘッセ行列の成分の定義と $c=n_1 \left(1-\pi_1\right),d=n_0 \left(1-\pi_0\right)$ より、 \begin{align} H_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\frac{\partial^2}{\partial\alpha^2}l \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=-c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)^2}-d \cdot \frac{e^\alpha}{ \left(1-e^\alpha\right)^2}\\ &=-c\frac{\pi_1}{ \left(1-\pi_1\right)^2}-d\frac{\pi_0}{ \left(1-\pi_0\right)^2}\\ &=-n_1 \cdot \frac{\pi_1}{1-\pi_1}-n_0 \cdot \frac{\pi_0}{1-\pi_0} \end{align} \begin{align} H_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\frac{\partial^2}{\partial\beta^2}l \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=-c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)^2}\\ &=-c\frac{\pi_1}{ \left(1-\pi_1\right)^2}\\ &=-n_1 \cdot \frac{\pi_1}{1-\pi_1} \end{align} \begin{align} H_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial\beta}l \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)^2}\\ &=-c\frac{\pi_1}{ \left(1-\pi_1\right)^2}\\ &=-n_1 \cdot \frac{\pi_1}{1-\pi_1} \end{align} 観測情報行列の定義 $\boldsymbol{i} \left(\boldsymbol{\theta}\right)=-\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\theta}\right)$ と二項分布における期待情報行列との関係 $\boldsymbol{i} \left(\boldsymbol{\theta}\right)=\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)$ から、$\psi_i=\frac{\pi_i}{1-\pi_i}$ とすると、 \begin{align} \boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\boldsymbol{i} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=- \left[\begin{matrix}H_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)&H_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\H_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&H_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}n_1\psi_1+n_0\psi_0&n_1\psi_1\\n_1\psi_1&n_1\psi_1\\\end{matrix}\right] \end{align}

期待情報行列の成分は、 \begin{align} \boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)= \left[\begin{matrix}\boldsymbol{I}_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)&\boldsymbol{I}_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\\boldsymbol{I}_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)^T&\boldsymbol{I}_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\\end{matrix}\right] \end{align} このとき、推定量の共分散行列は、$\boldsymbol{V} \left(\hat{\boldsymbol{\theta}}\right)={\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}$ となる。期待情報行列の逆行列は、 \begin{align} {\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}=\frac{\boldsymbol{1}}{ \left|\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\right|} \left[\begin{matrix}\boldsymbol{I}_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)&-\boldsymbol{I}_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)^T\\-\boldsymbol{I}_{\alpha\beta} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&\boldsymbol{I}_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\\end{matrix}\right] \end{align} 2×2行列の行列式の公式 $ \left|\boldsymbol{A}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ より、 \begin{align} \left|\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\right|&= \left(n_1\psi_1+n_0\psi_0\right)n_1\psi_1- \left\{n_1\psi_1\right\}^2\\ &= \left(n_1\psi_1+n_0\psi_0-n_1\psi_1\right)n_1\psi_1\\ &=n_1\psi_1n_0\psi_0 \end{align} したがって、 \begin{align} \boldsymbol{V} \left(\hat{\alpha},\hat{\beta}\right)&={\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}\\ &=\frac{1}{n_1\psi_1n_0\psi_0} \left[\begin{matrix}n_1\psi_1&-n_1\psi_1\\-n_1\psi_1&n_1\psi_1+n_0\psi_0\\\end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix}\frac{1}{n_0\psi_0}&-\frac{1}{n_0\psi_0}\\-\frac{1}{n_0\psi_0}&\frac{n_1\psi_1+n_0\psi_0}{n_1\psi_1n_0\psi_0}\\\end{matrix}\right] \end{align} したがって、推定量の共分散行列の成分は、 \begin{align} V \left(\hat{\alpha}\right)&= \left[{\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}\right]_\boldsymbol{\alpha}\\ &=\frac{1-\pi_0}{n_0\pi_0} \end{align} \begin{align} V \left(\hat{\beta}\right)&= \left[{\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}\right]_\boldsymbol{\beta}\\ &=\frac{1}{n_1\psi_1}+\frac{1}{n_0\psi_0}\\ &=\frac{1-\pi_1}{n_1\pi_1}+\frac{1-\pi_0}{n_0\pi_0} \end{align} \begin{align} \mathrm{Cov} \left(\hat{\alpha},\hat{\beta}\right)&= \left[{\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}\right]_{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}}\\ &=-\frac{1-\pi_0}{n_0\pi_0} \end{align}

この一致推定量は、${\hat{\pi}}_1=p_1=e^{\hat{\alpha}+\hat{\beta}}=\frac{an_2}{bn_1},{\hat{\pi}}_0=p_0=e^{\hat{\alpha}}=\frac{b}{n_0}$ を代入して、 \begin{align} \hat{V} \left(\hat{\beta}\right)&=\hat{V} \left(\log{\mathrm{\widehat{RR}}}\right)\\ &=\frac{1-p_1}{n_1p_1}+\frac{1-p_0}{n_0p_0}\\ &=\frac{1-p_1}{a}+\frac{1-p_0}{b}\\ &=\frac{1}{a}-\frac{p_1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{p_0}{b} \end{align} $a=n_1p_1,b=n_0p_0$ なので、 \begin{align} \hat{V} \left(\log{\mathrm{\widehat{RR}}}\right)=\frac{1}{a}-\frac{1}{n_1}+\frac{1}{b}-\frac{1}{n_0} \end{align} $\blacksquare$

対数尤度の式より、帰無仮説 $\beta=0$ における対数尤度は、 \begin{align} l \left(\pi_1,\pi_0\right)&=m_1\alpha+a\beta+c\log{ \left(1-e^{\alpha+\beta}\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}\\ l \left(\hat{\alpha},0\right)&=\log{L \left(\hat{\alpha},0\right)}\\ &=m_1\alpha+a \cdot 0+c\log{ \left(1-e^{\alpha+0}\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}\\ &=m_1\alpha+c\log{ \left(1-e^\alpha\right)}+d\log{ \left(1-e^\alpha\right)}=m_1\alpha+m_0\log{ \left(1-e^\alpha\right)} \end{align} パラメータ $\alpha$ のスコア関数は、この対数尤度関数を $\alpha$ で偏微分すると、 \begin{align} U_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)=m_1-m_0\frac{e^\alpha}{1-e^\alpha} \end{align} 尤度方程式 $U_\alpha \left(\boldsymbol{\theta}\right)=0$ を解くことによって得られる $\alpha$ の最尤推定量は、 \begin{gather} m_1-m_0\frac{e^{{\hat{\alpha}}_0}}{1-e^{{\hat{\alpha}}_0}}=0\\ \frac{e^{{\hat{\alpha}}_0}}{1-e^{{\hat{\alpha}}_0}}=\frac{m_1}{m_0}\\ \left(1+\frac{m_1}{m_0}\right)e^{{\hat{\alpha}}_0}=\frac{m_1}{m_0}\\ e^{{\hat{\alpha}}_0}=\frac{m_1}{m_0} \cdot \frac{m_0}{m_1+m_0}\\ e^{{\hat{\alpha}}_0}=\frac{m_1}{N}\\ {\hat{\alpha}}_0=\log{\frac{m_1}{N}} \end{gather} したがって、共通の発症確率 $\pi_1=\pi_0=\pi$ の最尤推定量は、 \begin{align} \hat{\pi}=\frac{m_1}{N} \end{align}

$\beta$ に関するスコア関数 $U_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)=a-c \cdot \frac{e^{\alpha+\beta}}{1-e^{\alpha+\beta}}$ は、帰無仮説 $\beta=0$ においては、 \begin{align} U_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=a-n_1 \cdot \frac{e^{{\hat{\alpha}}_0}}{1+e^{{\hat{\alpha}}_0}}\\ &=a-c \cdot \frac{\frac{m_1}{N}}{1-\frac{m_1}{N}}\\ &=a-c \cdot \frac{m_1}{m_0} \end{align}

また、帰無仮説のもとで $\beta$ に対応する推定情報量の逆行列の成分は、 \begin{align} V \left(\hat{\beta}\right)&= \left[{\boldsymbol{I} \left(\boldsymbol{\theta}\right)}^{-1}\right]_\boldsymbol{\beta}\\ &=\frac{1-\hat{\pi}}{n_1\hat{\pi}}+\frac{1-\hat{\pi}}{n_0\hat{\pi}}\\ &=\frac{1-\hat{\pi}}{\hat{\pi}} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\\ &=\frac{1-\frac{m_1}{N}}{\frac{m_1}{N}} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\\ &=\frac{m_0}{m_1} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\\ &=\frac{m_0}{m_1} \cdot \frac{n_1+n_0}{n_1n_0}\\ &=\frac{m_0}{m_1} \cdot \frac{N}{n_1n_0} \end{align}

結果として有効スコア検定 $\chi^2=\frac{ \left\{U_\beta \left(\boldsymbol{\theta}\right)\right\}^2}{\hat{V} \left(\hat{\beta}\right)}$ は、 \begin{align} \chi^2= \left(a-c \cdot \frac{m_1}{m_0}\right)^2 \left(\frac{m_1}{m_0} \cdot \frac{n_1n_0}{N}\right) \end{align}

スコアにもとづく推定値の公式 ${\hat{\theta}}_0=\frac{U \left(\theta_0\right)}{I \left(\theta_0\right)}$ より、 \begin{align} \hat{\beta}= \left(a-c \cdot \frac{m_1}{m_0}\right) \left(\frac{m_1}{m_0} \cdot \frac{n_1n_0}{N}\right) \end{align} また、スコアにもとづく推定値の分散の公式 $V \left({\hat{\theta}}_0\right)=\frac{1}{I \left(\theta_0\right)}$ より、 \begin{align} V \left(\hat{\beta}\right)=\frac{m_1}{m_0} \cdot \frac{n_1n_0}{N} \end{align} $\blacksquare$