母比率の滑らかな関数にもとづく検定

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_i\sim \mathrm{N}[{\pi }_i,\frac{{\pi }_i(1-{\pi }_i)}{n_i}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}{\pi }_i\to g\left({\pi }_i\right)p_i\to g\left(p_i\right)\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left\{g\left(p_i\right)\right\}\cong E\left[g\left({\pi }_i\right)\right]\end{array}$$ $$\begin{array}{r}V\left[g\left(p_i\right)\right]\cong {\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)\end{array}$$ スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}g\left(p_i\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[g\left({\pi }_i\right),{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)]\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}g\left(p_1\right)-g\left(p_0\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[g\left({\pi }_1\right)-g\left({\pi }_0\right),{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_1\right)\right\}}^{2}V\left(p_1\right)+{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_0\right)\right\}}^{2}V\left(p_0\right)]\end{array}$$ 帰無仮説 $H_0:{\pi }_1={\pi }_0(=\pi )$ のもとでは、 $$\begin{array}{r}g\left(p_1\right)-g\left(p_0\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,{\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\{V\left(p_1\right)+V\left(p_0\right)\}]\end{array}$$ ここで、帰無仮説のもとでの漸近分散を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{r}{\sigma }_0^2={\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\{V\left(p_1\right)+V\left(p_0\right)\}\end{array}$$ これを用いて標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{g\left(p_1\right)-g\left(p_2\right)}{{\hat{\sigma }}_0}=Z_g\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ したがって、母比率の滑らかな関数にもとづく検定統計量は、漸近的に通常の $\mathrm{Z}$検定を行うための検定統計量として用いることができる。 $◼$