母比率の滑らかな関数にもとづく検定

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に \begin{gather} p_i \sim \mathrm{N} \left[\pi_i,\frac{\pi_i \left(1-\pi_i\right)}{n_i}\right] \end{gather} ここで、 \begin{gather} \pi_i\rightarrow g \left(\pi_i\right) \quad p_i\rightarrow g \left(p_i\right) \end{gather} と変数変換する。 デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g \left(p_i\right)\right\}\cong E \left[g \left(\pi_i\right)\right] \end{align} \begin{align} V \left[g \left(p_i\right)\right]\cong \left\{g^\prime \left(\pi_i\right)\right\}^2V \left(p_i\right) \end{align} スラツキーの定理より、 \begin{align} g \left(p_i\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[g \left(\pi_i\right), \left\{g^\prime \left(\pi_i\right)\right\}^2V \left(p_i\right)\right] \end{align} したがって、正規分布の再生性より、 \begin{align} g \left(p_1\right)-g \left(p_0\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[g \left(\pi_1\right)-g \left(\pi_0\right), \left\{g^\prime \left(\pi_1\right)\right\}^2V \left(p_1\right)+ \left\{g^\prime \left(\pi_0\right)\right\}^2V \left(p_0\right)\right] \end{align} 帰無仮説 $H_0:\pi_1=\pi_0 \left(=\pi\right)$ のもとでは、 \begin{align} g \left(p_1\right)-g \left(p_0\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0, \left\{g^\prime \left(\pi\right)\right\}^2 \left\{V \left(p_1\right)+V \left(p_0\right)\right\}\right] \end{align} ここで、帰無仮説のもとでの漸近分散を以下のようにおくと、 \begin{align} \sigma_0^2= \left\{g^\prime \left(\pi\right)\right\}^2 \left\{V \left(p_1\right)+V \left(p_0\right)\right\} \end{align} これを用いて標準化した値は、 \begin{align} \frac{g \left(p_1\right)-g \left(p_2\right)}{{\hat{\sigma}}_0}=Z_g \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} したがって、母比率の滑らかな関数にもとづく検定統計量は、漸近的に通常の $\mathrm{Z}$検定を行うための検定統計量として用いることができる。 $\blacksquare$