発症リスク差に関する優越性試験のサンプルサイズ設計の公式

帰無仮説をいいかえると、 \begin{gather} H_0:\pi_1=\pi_0=\pi \end{gather}

標本発症リスク差の漸近分布は、対立仮説の下で \begin{align} \mathrm{\widehat{RD}}\xrightarrow[]{d}N \left[\pi_1-\pi_0,\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)+\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}{N}\right] \end{align} 帰無仮説の下で \begin{align} \mathrm{\widehat{RD}}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0,\frac{2\pi \left(1-\pi\right)}{N}\right] \end{align} 帰無仮説の下での共通の発症確率の推定値は、 \begin{align} \pi=\frac{\pi_1+\pi_0}{2} \end{align} したがって、検定統計量の分散について、 \begin{gather} \frac{\phi_0^2}{N}=\frac{2\pi \left(1-\pi\right)}{N}\\ \phi_0^2=2\pi \left(1-\pi\right)\\ \phi_0=\sqrt{2\pi \left(1-\pi\right)} \end{gather} \begin{gather} \frac{\phi_1^2}{N}=\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)+\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}{N}\\ \phi_1^2=\pi_1 \left(1-\pi_1\right)+\pi_0 \left(1-\pi_0\right)\\ \phi_1=\sqrt{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)+\pi_0 \left(1-\pi_0\right)} \end{gather} これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 \begin{align} N= \left[\frac{Z_\alpha \cdot \sqrt{2\pi \left(1-\pi\right)}-Z_{1-\beta} \cdot \sqrt{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)+\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}}{\pi_1-\pi_0}\right]^2 \end{align} $\blacksquare$