本稿には、2022年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕比例ハザード性
標本1のハザード関数は、 \begin{gather} \lambda \left(t;0\right)=\lambda_0 \left(t\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\beta \cdot 0\right)=\lambda_0 \left(t\right) \end{gather} 標本2のハザード関数は、 \begin{gather} \lambda \left(t;1\right)=\lambda_0 \left(t\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\beta \cdot 1\right)=\lambda_0 \left(t\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\beta\right) \end{gather} 標本1に対する標本2のハザード比は、 \begin{gather} \mathrm{HR}=\frac{\lambda \left(t;1\right)}{\lambda \left(t;0\right)}=\frac{\lambda_0 \left(t\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\beta\right)}{\lambda_0 \left(t\right)}=\mathrm{exp} \left(\beta\right) \end{gather} ここで、$\mathrm{exp} \left(\beta\right)$ は定数なので、時間によらずハザード比は常に一定、すなわち比例ハザード性が成り立つ。 $\blacksquare$
〔2〕ベースライン生存関数
累積ハザード関数の定義式より、 \begin{align} \Lambda \left(t;x\right)&=\int_{0}^{t}{\lambda_0 \left(u\right) \cdot \mathrm{exp} \left(\beta x\right)du}\\ &=\mathrm{exp} \left(\beta x\right)\int_{0}^{t}{\lambda_0 \left(u\right)du} \end{align} また、生存関数と累積ハザード関数の関係式より、 \begin{gather} S \left(t;x\right)=\mathrm{exp} \left\{-\Lambda \left(t;x\right)\right\} \end{gather} これと式 $(2)$ より、 \begin{align} \left\{S_0 \left(t\right)\right\}^{\mathrm{exp} \left(\beta x\right)}&=\mathrm{exp} \left\{-\mathrm{exp} \left(\beta x\right)\int_{0}^{t}{\lambda_0 \left(u\right)du}\right\}\\ &= \left[\mathrm{exp} \left\{-\int_{0}^{t}{\lambda_0 \left(u\right)du}\right\}\right]^{\mathrm{exp} \left(\beta x\right)} \end{align} したがって、 \begin{gather} S_0 \left(t\right)=\mathrm{exp} \left\{-\int_{0}^{t}{\lambda_0 \left(u\right)du}\right\} \end{gather} $\blacksquare$
〔3〕二重対数プロット
式 $(2)$ を用いて二重対数を求めると、 \begin{align} \log{ \left(-\log{S \left(t;x\right)}\right)}&=\log{ \left[-\log{ \left\{S_0 \left(t\right)\right\}^{\mathrm{exp} \left(\beta x\right)}}\right]}\\ &=\log{ \left[-\mathrm{exp} \left(\beta x\right) \cdot \log{S_0 \left(t\right)}\right]}\\ &=\beta x+\log{ \left\{-\log{S_0 \left(t\right)}\right\}} \end{align} 標本1の二重対数生存関数は、 \begin{gather} \log{ \left(-\log{S \left(t;0\right)}\right)}=\log{ \left\{-\log{S_0 \left(t\right)}\right\}} \end{gather} 標本2の二重対数生存関数は、 \begin{gather} \log{ \left(-\log{S \left(t;1\right)}\right)}=\beta+\log{ \left\{-\log{S_0 \left(t\right)}\right\}} \end{gather} したがって、これらの差は、 \begin{align} \log{ \left(-\log{S \left(t;1\right)}\right)}-\log{ \left(-\log{S \left(t;0\right)}\right)}&=\beta+\log{ \left\{-\log{S_0 \left(t\right)}\right\}}-\log{ \left\{-\log{S_0 \left(t\right)}\right\}}\\ &=\beta \end{align} よって、経過時間によらず、層間の差は常に $\beta$、すなわちプロットは層間で平行になる。 $\blacksquare$
〔4〕ハザード比の信頼区間
〔1〕の結果より、ハザード比の推定値は、 \begin{align} \mathrm{\widehat{HR}}&=\mathrm{exp} \left(\hat{\beta}\right)\\ &=\mathrm{exp} \left(0.06\right) \end{align} 付表5より、 \begin{align} \mathrm{\widehat{HR}}=1.0618 \end{align} 回帰係数の95%信頼区間は、 \begin{align} \beta&=\hat{\beta}\pm\mathrm{S.E.} \left(\hat{\beta}\right) \cdot Z_{0.025}\\ &=0.06\pm0.18 \cdot 1.96\\ &=-0.29 \sim 0.41 \end{align} したがって、ハザード比の95%信頼区間は、付表5より、 \begin{align} \mathrm{HR}&=\mathrm{exp} \left(-0.29\right) \sim \mathrm{exp} \left(0.41\right)\\ &=\frac{1}{1.3364} \sim 1.5068\\ &=0.75 \sim 1.51 \end{align} $\blacksquare$
〔5〕治療効果の評価
ハザード比の95%信頼区間が1をまたいでいるので、有意水準5%では有意ではない、すなわち、治療効果があるとは言えない。 $\blacksquare$
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