統計検定 1級 2022年 医薬生物学 問1 生存時間分析：比例ハザードモデル

本稿には、2022年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕比例ハザード性

標本1のハザード関数は、 $$\begin{array}{c}\lambda (t;0)={\lambda }_0\left(t\right)\cdot \exp (\beta \cdot 0)={\lambda }_0\left(t\right)\end{array}$$ 標本2のハザード関数は、 $$\begin{array}{c}\lambda (t;1)={\lambda }_0\left(t\right)\cdot \exp (\beta \cdot 1)={\lambda }_0\left(t\right)\cdot \exp \left(\beta \right)\end{array}$$ 標本1に対する標本2のハザード比は、 $$\begin{array}{c}\mathrm{HR}=\frac{\lambda (t;1)}{\lambda (t;0)}=\frac{{\lambda }_0\left(t\right)\cdot \exp \left(\beta \right)}{{\lambda }_0\left(t\right)}=\exp \left(\beta \right)\end{array}$$ ここで、$\exp \left(\beta \right)$ は定数なので、時間によらずハザード比は常に一定、すなわち比例ハザード性が成り立つ。 $◼$

〔2〕ベースライン生存関数

累積ハザード関数の定義式より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }(t;x)& ={\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)\cdot \exp \left(\beta x\right)du\\ & =\exp \left(\beta x\right){\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)du\end{array}$$ また、生存関数と累積ハザード関数の関係式より、 $$\begin{array}{c}S(t;x)=\exp \{-\mathrm{\Lambda }(t;x)\}\end{array}$$ これと式 $(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\left\{S_0\left(t\right)\right\}}^{\exp \left(\beta x\right)}& =\exp \{-\exp \left(\beta x\right){\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)du\}\\ & ={\left[\exp \{-{\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)du\}\right]}^{\exp \left(\beta x\right)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}{S}_0\left(t\right)=\exp \{-{\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)du\}\end{array}$$ $◼$

〔3〕二重対数プロット

式 $(2)$ を用いて二重対数を求めると、 $$\begin{array}{rl}\log (-\log S(t;x))& =\log [-\log {\left\{S_0\left(t\right)\right\}}^{\exp \left(\beta x\right)}]\\ & =\log [-\exp \left(\beta x\right)\cdot \log S_0\left(t\right)]\\ & =\beta x+\log \{-\log S_0\left(t\right)\}\end{array}$$ 標本1の二重対数生存関数は、 $$\begin{array}{c}\log (-\log S(t;0))=\log \{-\log S_0\left(t\right)\}\end{array}$$ 標本2の二重対数生存関数は、 $$\begin{array}{c}\log (-\log S(t;1))=\beta +\log \{-\log S_0\left(t\right)\}\end{array}$$ したがって、これらの差は、 $$\begin{array}{rl}\log (-\log S(t;1))-\log (-\log S(t;0))& =\beta +\log \{-\log S_0\left(t\right)\}-\log \{-\log S_0\left(t\right)\}\\ & =\beta \end{array}$$ よって、経過時間によらず、層間の差は常に $\beta$、すなわちプロットは層間で平行になる。 $◼$

〔4〕ハザード比の信頼区間

〔1〕の結果より、ハザード比の推定値は、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{HR}}& =\exp \left(\hat{\beta }\right)\\ & =\exp \left(0.06\right)\end{array}$$ 付表5より、 $$\begin{array}{r}\widehat{\mathrm{HR}}=1.0618\end{array}$$ 回帰係数の95%信頼区間は、 $$\begin{array}{rl}\beta & =\hat{\beta }\pm \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\beta }\right)\cdot Z_{0.025}\\ & =0.06\pm 0.18\cdot 1.96\\ & =-0.29\sim 0.41\end{array}$$ したがって、ハザード比の95%信頼区間は、付表5より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{HR}& =\exp (-0.29)\sim \exp \left(0.41\right)\\ & =\frac{1}{1.3364}\sim 1.5068\\ & =0.75\sim 1.51\end{array}$$ $◼$

〔5〕治療効果の評価

ハザード比の95%信頼区間が1をまたいでいるので、有意水準5%では有意ではない、すなわち、治療効果があるとは言えない。 $◼$

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