ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.5 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.5」の自作解答例です。マッチング・ペア研究に対する条件付き二項分布に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.5.1：条件付き二項分布の導出

抽出したものが不一致な応答であるという条件のもとで、それが「発症あり・発症なし $(D,\overline{D})$」、「発症なし・発症あり $(\overline{D},D)$」である確率は、 $$\begin{array}{r}P(D,\overline{D})=\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}P(\overline{D},D)=\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\end{array}$$ 不一致な応答の総数 $M=f+g$ が固定されているとの仮定のもとで、「発症あり・発症なし $(D,\overline{D})$」となるペア数 $f$ は、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{B}(M,\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}})\end{array}$$ したがって、得られた観測値が観測される確率（尤度）は、 $$\begin{array}{rl}P\left(f\right|M)& ={}_M{C}_f{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\\ & =\frac{M!}{f!(M-f)!}{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\\ & =\frac{M!}{f!g!}{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\end{array}$$ $◼$

問題5.5.2：条件付き二項分布の正規近似

二項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left(f\right)=\frac{M{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}V\left(f\right)=\frac{M{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\end{array}$$ 二項分布の正規近似より、漸近的に、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{N}[\frac{M{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{M{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ 線形変換の性質より、「発症あり・発症なし」の標本確率は漸近的に、 $$\begin{array}{r}\frac{f}{M}=p_f\sim \mathrm{N}[\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.259
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.225-227

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