本稿では、大標本の横断研究やコホート研究における発症リスク差に関する検定の検定統計量の導出を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】発症リスク差に関する検定
【定理】
発症リスク差に関する検定
Statistical Test for Risk Difference
マッチングなしのコホート研究における発症リスク差
\begin{gather}
\delta=\mathrm{RD}=\pi_1-\pi_0\\
\hat{\delta}=\mathrm{\widehat{RD}}={\hat{\pi}}_1-{\hat{\pi}}_0
\end{gather}
に関する
帰無仮説を
\begin{gather}
H_0:\pi_1=\pi_0 \left(=\pi\right)
\end{gather}
対立仮説を
①両側仮説
\begin{gather}
H_1:\pi_1 \neq \pi_0
\end{gather}
②右側仮説
\begin{align}
H_1:\pi_1 \gt \pi_0
\end{align}
③左側仮説
\begin{align}
H_1:\pi_1 \lt \pi_0
\end{align}
共通の母比率の一致推定量を
\begin{align}
\hat{\pi}=\frac{m_1}{N}
\end{align}
とするとき、
$\mathrm{Z}$検定統計量は、
\begin{gather}
Z_0=\frac{{\hat{\pi}}_1-{\hat{\pi}}_0}{{\hat{\sigma}}_0}\\
{\hat{\sigma}}_0^2=\hat{\pi} \left(1-\hat{\pi}\right) \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)
\end{gather}
で与えられる。
導出
帰無仮説の下での標本発症リスク差の漸近分布は、 \begin{align} \hat{\delta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0,\pi \left(1-\pi\right) \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\right] \end{align} 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 \begin{align} \hat{\pi}=\frac{m_1}{N} \end{align} 漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_0^2=\hat{\pi} \left(1-\hat{\pi}\right) \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right) \end{align} 帰無仮説の下で標本発症リスク差を標準化すると、 \begin{gather} Z_0=\frac{{\hat{\pi}}_1-{\hat{\pi}}_0}{{\hat{\sigma}}_0} \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.39-40
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