本稿では、対応のない連続値データに関するコホート研究・介入研究における大標本での母平均・母平均の差に関する検定の検定統計量の導出を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】大標本における母平均・母平均の差に関する検定
【定理】
大標本における母平均・母平均の差に関する検定
Statistical Test for Mean and Mean Difference of Any Distributions with Large-Sample
対応のない連続値データに関するコホート研究・介入研究における母平均 \begin{gather} \mu_X \quad \bar{X} \end{gather} に関する 帰無仮説を \begin{gather} H_0:\mu_X=\mu_0 \end{gather} とするとき、 $\mathrm{Z}$検定統計量は、 \begin{align} Z_0=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu_0\right)}{s_X} \end{align} で与えられる。
対応のない連続値データに関するコホート研究・介入研究における母平均の差 \begin{gather} \delta=\mathrm{MD}=\mu_X-\mu_Y\\ \hat{\delta}=\mathrm{\widehat{MD}}=\bar{X}-\bar{Y} \end{gather} に関する 帰無仮説を \begin{gather} H_0:\mu_X=\mu_Y \end{gather} とするとき、 $\mathrm{Z}$検定統計量は、 \begin{align} Z_0=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{{\hat{\sigma}}_0}\\ {\hat{\sigma}}_0^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m} \end{align} で与えられる。
導出
帰無仮説の下での標本平均の漸近分布は、 \begin{gather} \hat{\delta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(\mu_0,\frac{\sigma_X^2}{n}\right) \end{gather} 標本不偏分散が母分散の一致推定量とみなすことができるとき、帰無仮説の下での標本平均の漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_0^2=\frac{s_X^2}{n} \end{align} 帰無仮説の下で標本リスク差を標準化すると、 \begin{gather} Z_0=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu_0\right)}{s_X} \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{gather} $\blacksquare$
帰無仮説の下での標本平均の差の漸近分布は、 \begin{gather} \hat{\delta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(0,\frac{\sigma_X^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{m}\right) \end{gather} 各群の標本不偏分散がそれぞれの母分散の一致推定量とみなすことができるとき、両仮説における標本平均の差の漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_0^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m} \end{align} 帰無仮説の下で標本リスク差を標準化すると、 \begin{gather} Z_0=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{{\hat{\sigma}}_0} \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.278
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