大標本における母平均・母平均の差に関する検定

帰無仮説の下での標本平均の漸近分布は、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}({\mu }_0,\frac{{\sigma }_X^2}{n})\end{array}$$ 標本不偏分散が母分散の一致推定量とみなすことができるとき、帰無仮説の下での標本平均の漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_0^2=\frac{s_X^2}{n}\end{array}$$ 帰無仮説の下で標本リスク差を標準化すると、 $$\begin{array}{c}{Z}_0=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)}{s_X}\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ $◼$

帰無仮説の下での標本平均の差の漸近分布は、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}(0,\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 各群の標本不偏分散がそれぞれの母分散の一致推定量とみなすことができるとき、両仮説における標本平均の差の漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_0^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}\end{array}$$ 帰無仮説の下で標本リスク差を標準化すると、 $$\begin{array}{c}{Z}_0=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{{\hat{\sigma }}_0}\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ $◼$