分割表の諸検定の同等性

（i）コクラン検定の検定統計量
検定統計量の形式を整理すると、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_{\mathrm{C}}^2& =\frac{{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{N^2}\cdot \frac{N^3}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\\ \text{(1)}& & =\frac{N{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\end{array}$$

（ii）ピアソンの ${\chi }^2$検定の検定統計量
検定統計量は、 $$\begin{array}{r}{\chi }_{\mathrm{P}}^2=\frac{N{(ad-bc)}^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\end{array}$$ ここで、$c=n_1-a,d=n_0-b$ なので、 $$\begin{array}{rl}{[a(n_0-b)-b(n_1-a)]}^2& ={(a{n}_0-ab-b{n}_1+ab)}^2\\ & ={(a{n}_0-b{n}_1)}^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& {\chi }_{\mathrm{P}}^2=\frac{N{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\end{array}$$

（iii）発症リスク差に関する検定の検定統計量
検定統計量を2乗すると、 $$\begin{array}{r}{\chi }_0^2=\frac{n_1{n}_0{({\hat{\pi }}_1-{\hat{\pi }}_0)}^2}{N\hat{\pi }(1-\hat{\pi })}\end{array}$$ ここで、各値の推定量 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_1=\frac{a}{n_1}{\hat{\pi }}_0=\frac{b}{n_0}\hat{\pi }=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ を代入すると、 分子は、 $$\begin{array}{rl}{n}_1{n}_0{({\hat{\pi }}_1-{\hat{\pi }}_0)}^2& =n_1{n}_0{(\frac{a}{n_1}-\frac{b}{n_0})}^2\\ & =n_1{n}_0{\left(\frac{a{n}_0-b{n}_1}{n_1{n}_0}\right)}^2\\ & =\frac{{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_0}\end{array}$$ 分母は、 $$\begin{array}{rl}N\hat{\pi }(1-\hat{\pi })& =N\cdot \frac{m_1}{N}\cdot \frac{m_0}{N}\\ & =\frac{m_1{m}_0}{N}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_0^2& =\frac{{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_0}\cdot \frac{N}{m_1{m}_0}\\ \text{(3)}& & =\frac{N{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}\end{array}$$

（iv）マンテル・ヘンツェル検定の検定統計量
検定統計量の形式を整理すると、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_{\mathrm{MH}}^2& ={(a-\frac{n_1{m}_1}{N})}^2\cdot \frac{N^2(N-1)}{m_1{m}_0{n}_1{n}_0}\\ & =\frac{{\{a(n_0+n_1)-n_1(a+b)\}}^2}{N^2}\cdot \frac{N^2(N-1)}{m_1{m}_0{n}_1{n}_0}\\ & =\frac{{(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{N^2}\cdot \frac{N^2(N-1)}{m_1{m}_0{n}_1{n}_0}\\ \text{(4)}& & =\frac{(N-1){(a{n}_0-b{n}_1)}^2}{m_1{m}_0{n}_1{n}_0}\end{array}$$ サンプルサイズが十分に大きく、1の差が無視できるとき、 $$\begin{array}{c}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}N-1=N\end{array}$$

したがって、式 $(1),(2),(3),(4)$ より、漸近的に $$\begin{array}{c}{\chi }_0^2={\chi }_{\mathrm{P}}^2={\chi }_{\mathrm{C}}^2={\chi }_{\mathrm{MH}}^2\end{array}$$ $◼$